概率问题：两人切分两块蛋糕，如何使其中一人收益最大

1.  题目描述：现有A，B两人切分两块同样大小的蛋糕，A决定谁有优先选择权，B决定如何切分。两个人各有一次先选机会。即，若A决定在第一块蛋糕切分时先选择，则第二块蛋糕切分后由B先选择。问，若B想达到收益最大，应如何切分？

首先，设B将蛋糕切为两块：f, 1  -f (f >=1/2)。

1)  若第一块蛋糕A先选，则第一次分配后A得到 f , B得到 1 - f。则第二次分配时B会选择全部拿走（B得到1），A只能得到0。两次相累加，A得到 f ，B得到 2 - f ( 1 - f + 1);

2)  若第一块蛋糕B先选，则第一次分配后B得到 f , A得到 1 - f。第二次分配时B会将蛋糕分成均等的两份，即第二次时A和B各得到 1/2。两次结果相累加，A得到 1 - f + 1/2，B得到 f + 1/2;

综合两种选择方案，若使B收益最大，则使A的两种选择方案收益相等。即 f = 1 - f + 1/2，故 f = 3/4（A的总收益），B的总收益为5/4。

2.  若有三块蛋糕，B至少有1次先选机会，A决定先选次序，B决定如何切分。若B想达到收益最大，应如何切分？

1)  若第一块蛋糕A先选，则第一次分配后A得到 f , B得到 1 - f，余下的两次选择方案与1相同，则A的三次总收益为 f + 3/4, B的三次总收益为 1 - f + 5/4;

2)  若第一块蛋糕B先选，则第一次分配后B得到 f , A得到 1 - f。剩余两次分配时B会将蛋糕分成均等的两份，则A的三次总收益为 2 - f , B的三次总收益为 1 + f ;

综合两种选择方案，若使B收益最大，则使A的两种选择方案收益相等。即 2 - f = f + 3/4，故 f = 5/8

A的总收益为 11/8，B的总收益为 13/8。

上述问题还可以推广到n次，具体可参考： https://blog.csdn.net/yangfeisc/article/details/45727125