和式的计算——一般性的方法

看一个例子： $\sum_{i=0}a_i^2$
现在我们尝试使用多种方法来求这个式子的封闭形式——即通项公式。
方法0：可以查找公式。最好的资料来源是Sloane所著的《Handbook of Integer Sequences》，里面列出了数以千计的序列的封闭形式。可以去参考。还有些软件如：Axiom、MACSYMA、Maple或者Mathematica可以处理一些庞大的公式。其中，Mathematica很有名，大家可以去试用一下。
方法1：打表，猜测答案，然后用归纳法法证明。
方法2：对和式用扰动法
按照一般的做法，我们在其后加上一项：
$\begin{aligned} S_{n+1}=S_n+(n+1)^2 &=\sum_{0\leq k \leq n}(k+1)^2 \\ &=\sum_{0\leq k\leq n}(k^2+2k+1) \\ &=\sum_{0\leq k \leq n}k^2+2 \sum_{0\leq k \leq n} k+n+1 \\ &=Sn+2\sum{0\leq k \leq n}+(n+1) \end{aligned}$
发现Sn消掉了，扰动法失效。
那我们尝试从整数的立方和出发，来用一下扰动法。
设G(n)表示整数的立方和。
$\begin{aligned}G(n)+(n+1)^3&=\sum_{0\leq k \leq n}(k+1)^3=\sum_{0 \leq k \leq n}(k^3+3k^2+3k+1)\\ &=\sum_{0 \leq k \leq n}k^3+3\sum_{0\leq k\leq n}k^2+\frac{3n(n+1)}{2}+n+1 \end{aligned}$
发现G(n)消掉了，里面刚好有S(n).
$3S(n)=(n+1)^3-\frac{3n(n+1)}{2}+n+1$
化简可得：
$3S(n)=(n+1)(n+\frac{1}{2})n$
方法三：建立成套方法
设递归式
$\begin{aligned} R_0&=\alpha ;\\ R_n &=R_{n-1}+\beta+\gamma n+\delta n^2, n>0 \end{aligned}\tag{1}$
的解的一般形式是
$R_n=A(n)\alpha+B(n)\beta+C(n)\gamma+D(n)\delta \tag{2}$
则 $Sn$对应于递归式取 $\alpha=0,\beta=0,\gamma=0,\delta=1$时 $Rn$的值。.

设 $Rn=1$,则可得 $\alpha=1,\beta=0,\gamma=0,\delta=0$,于是 $A(n)=1$
设 $Rn=n$,则可得 $\alpha=0,\beta=1,\gamma=0,\delta=0$,于是 $B(n)=n$
设 $Rn=n^2$,则可得 $\alpha=0,\beta=-1,\gamma=2,\delta=0$,于是 $C(n)=\frac{n^2+n}{2}$
设 $Rn=n^3$,则可得 $\alpha=0,\beta=1,\gamma=-3,\delta=3$,于是 $n^3=B(n)-3C(n)+3D(n)$,有 $D(n)=\frac{2n^3-2n+3n(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
现在 $A(n),B(n),C(n),D(n)$都已经求出来了。将 $\alpha=0,\beta=0,\gamma=0,\delta=1$代入式子 $(2)$中，则可求得 $Sn=D(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
成套方法是先从特殊到一般，再从一般到特殊的一个经典应用。
首先对一个具体的递归式，将其表示为一个系数待确定的方程，递归式变量为 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$，各变量的系数分别为 $A(n),B(n),C(n),D(n)$，该方程是一个通用的方程，可以表示符合这种形式的任意递归式（f(n)与f(n-1)的倍数关系不能变）。然后再从一般到特殊，通过一些特殊的数列，求出系数的值。于是该方程的编程了一个系数确定的方程。只要代入 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$的值，就可以确定方程在那一组变量下的值，即为原递归式的封闭形式。
方法四：用积分替换和式。
$\sum_{0\leq k \leq n}k^2$可以看做宽度为1，高度为 $k^2$的小矩形的面积之和，它可以近似的表示为： $\int_{0}^{n}x^2dx=n^3/3$
我们检查这个误差，设误差 $E_n=S_n-n^3/3$.
因为Sn满足递归式，所以有： $\begin{aligned}E_n=Sn-n^3/3&=S_{n-1}+n^2-n^3/3\\&=E_{n-1}+(n-1)^3/3+n^2-n^3/3 \\ &=E_{n-1}+n-1/3 \end{aligned}$
可以很容易计算出 $E_n=(n+1)n/2-n/3$
则 $S_n=E_n+n^3/3=(n+1)n/2-n/3+n^3/3=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

方法五：展开和收缩
$\begin{aligned}S_n=\sum_{1\leq k\leq n}k^2&=\sum_{1\leq j \leq k\leq n}k\\ & =\sum_{1\leq j\leq n}\sum_{j\leq k\leq n} k\\ &=\sum_{1\leq j\leq n}\left(\frac{j+n}{2}\right)(n-j+1)\\ & =\frac{1}{2}\sum_{1\leq j\leq n }(n(n+1)+j-j^2)\\&=\frac{1}{2}n^2(n+1)+\frac{1}{4}n(n+1)-\frac{1}{2}S_n\\&=\frac{1}{2}n(n+\frac12)(n+1)-\frac12S_n\end{aligned}$
从单重和式变换到多重和式，初看是一种倒推，但实际上是进步。
我们不能指望不断的简化简化再简化，就像你不可能只向上爬坡而登上最高的山峰！

方法六：有限微积分
方法七：无限微积分