很久前在知乎写的一个答案，今天把坑填了，顺便搬过来。
让我们定义dn为：dn=pn+1−pn，其中pi是第i个素数。显然有d1=1，且对于n>1有dn是偶>>数。
“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。 现给定任意正整数N(<10^5)， 请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。
而且题目还限制了400ms时间（有没有搞错(╯‵□′)╯︵┻━┻）
写出的第一个程序在最大值情况下运行时间超过10秒 (；′⌒`)
后来在网上看到了一个人的回答，使用到了初中时学到的数学知识:
假如一个数N是合数,它有一个约数a,那么有a×b=N
则a、b两个数中必有一个大于或等于根号N,一个小于或等于根号N。
因此,只要小于或等于根号N的数（1除外）不能整除N,则N一定是素数。
原谅我数学没学好，依照这个思路 我写了下面这个程序：
import math #使用 math 模块来开平方
import time #计算程序运行时间
num = int(input()) #输入一个整数
s = 0 #计算质数对的个数
start = time.time() #计算开始时间
def f1(n):
if n <= 1:
return False
else:
for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1): #这里 +1是将开方后的结果包含在内
if n % i == 0:
return False
return True
for i in range(1, num+1):
if f1(i) is True and f1(i + 2) is True and (i + 2) <= num: #最后的条件是限制素数对超过N
s += 1
end = time.time() #结束时间
print(s) #打印素数对个数
print(end - start) #输出运行时间
嗯 这就是大概的逻辑，最后时间大大缩短，用100000来实验，时间是0.4561。略微超过了400ms。
怎么办…… 于是继续找，总有人跟我遇到一样的问题嘛？
最后还真找到了！
要想继续优化缩短运行时间，就是按照上面的思路来排除多余的工作量。既然我们已经排除了一半，那是不是还能排除跟多呢？
废话！当然可以啦~（不然也不会写到这里）
首先想到的就是偶数！ 除了2以外，显然偶数不是素数。好的，又排除了一半。
顺着思路，那么奇数里面能被3，被5整除的也要排除。
顺着这个思路 我们得到这个代码：
import math # 使用 math 模块来开平方
import time # 计算程序运行时间
num = int(input()) # 输入一个整数
s = 0 # 计算质数对的个数
start = time.time() # 计算开始时间
def f1(n):
if n <= 1:
return False
elif n % 2 == 0 and n != 2: # 去除能被2整除的 不包括2（其实也可以包括2，以为2没有素数对）
return False
elif n % 3 == 0 and n != 3: # 去除能被3整除的 不包括3
return False
elif n % 5 == 0 and n != 5: # 去除能被5整除的 不包括5
return False
elif n % 7 == 0 and n != 7: # 去除能被7整除的 不包括7
return False
else:
for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2): # 这里 +1是将开方后的结果包含在内
if n % i == 0:
return False
return True
for i in range(1, num+1):
if f1(i) is True and f1(i + 2) is True and (i + 2) <= num: # 最后的条件是限制素数对超过N
s += 1
end = time.time()
print(s)
print(end - start)
用 100000 来实验，得到的时间是207ms！！！ 合格啦！！！ 少了一半多！ 但是能不能更少呢？
还真能！
要想再简化，就不得不了解孪生质数的性质和分布规律。
一. 当n≥5时，如果一个n-1,n+1互为孪生质数，则n必定是6的倍数
- 简要证明：因为：n - 1，n + 1是质数
- 故 ：n - 1 ，n + 1是奇数
- 可知：n 是 偶数，n 是 2 的倍数。
- 假设：n 不是 3 的倍数，即 n = 3k + 1 或 n = 3k + 2。
- (a) 当 n = 3k + 1 时，那么 n - 1 = 3k,已经与 n - 1 是质数矛盾。
- (b) 当 n = 3k + 2 时， 那么 n +１＝3(k + 1),已经与 n + 1是质数矛盾。
- 故：n 是 3 的倍数。
- 因为：n既是2的倍数，又是3的倍数
- 故：n 是6的倍数。
得出：
推论一：当 x >= 1, (6x - 1)或 (6x + 1)不是质数时，即
2(3x) - 1, 3(2x) - 1,
2(3x) + 1, 3(2x) + 1，为合数时，
它们的质因子不包括2和3的倍数。（合数为可分解为多个质数的乘积）
二. 对于大于3的质数，只分布在6x-1和6x+1两数列中(x为非0自然数)。即都在6的倍数的两侧。
也就是说，大于5的质数一定在6x两侧，但是6x的两侧不一定是质数。
6x-1数列中的素数为阴性素数，合数为阴性合数
6x+1数列中的素数为阳性素数，合数为阳性合数
好了，依照之前的和以上两个性质的思路。
可知，对于大于3的孪生质数
- 5+6n数列中，素数必定为阴性素数，且合数也不能被2,3整除，所以是否能被2,3整除不用判断
- 只需满足5+6n和7+6n同时为素数，即都不能被5或7 整除即可。
代码如下：
num = 100000
s = 1 # （3,5）质数对单独处理，不再考虑
def f(n):
if n % 5 != 0 and n % 7 != 0: # 判断一个属于是否能被5或7整除
return True # 真，则为质数
else:
return False
for n in range(5,num+1,6): # 遍历5+6n数列
if n == 5: # (5,7)单独处理
s += 1
elif f(n) and f(n+2): # 是否同时为素数
s += 1
print(s)
最终用时为 **7ms！！！**比原来整整少了几个数量级。
这个是从判断是否为孪生素数对的角度来寻找思路，对于是否为素数，我想也没必要赘述了。按照以上思路写就可以了。