PBRT笔记(7)——反射模型

基础术语

表面反射可以分为4大类：

1. diffuse 漫反射
2. glossy specular 镜面反射高光
3. perfect specular 完美反射高光
4. retro-reflective distributions 后反射分布

几何坐标系以及工具函数

pbrt中的反射是在反射坐标系中进行计算的。坐标系由着色点处法向量与两个切向量组成，也就是
正交基向量（s,t,n），分别于x，y，z相对齐。以\(( \theta ,\phi)\)球体坐标系来表达方向。

从图8.3中可以了解到以下内容，代码在reflection.h中

inline Float CosTheta(const Vector3f &w) { return w.z; }
inline Float Cos2Theta(const Vector3f &w) { return w.z * w.z; }
inline Float AbsCosTheta(const Vector3f &w) { return std::abs(w.z); }
inline Float Sin2Theta(const Vector3f &w) {
    return std::max((Float)0, (Float)1 - Cos2Theta(w));
}

inline Float SinTheta(const Vector3f &w) { return std::sqrt(Sin2Theta(w)); }

inline Float TanTheta(const Vector3f &w) { return SinTheta(w) / CosTheta(w); }

inline Float Tan2Theta(const Vector3f &w) {return Sin2Theta(w) / Cos2Theta(w);}

inline Float CosDPhi(const Vector3f &wa, const Vector3f &wb) {
    return Clamp((wa.x * wb.x + wa.y * wb.y) /std::sqrt((wa.x * wa.x + wa.y * wa.y) *(wb.x * wb.x + wb.y * wb.y)),
    -1, 1);
}

基本接口

BRDF与BTDF共享公共基类BxDF。BxDFType为反射属性枚举（按照不同的子类修改里面部分枚举的值）

MatchesFlags()用于确定当前BxDF的标签是否与用户提供的一样。

f()返回分布函数值。

完美反射物体例如镜子、玻璃、水之类只能从一个入射方向散射到另一个出射方向，对于这些光线散射情况，就需要特殊处理。这样的BxDF最好是使用delta分布来表示，在此PBRT提供了Sample_f()函数，可以用来处理散射的随机方向采样问题。(使用这个函数氛围使用delta分布与不适用)

virtual Spectrum Sample_f(const Vector3f &wo, Vector3f *wi,const Point2f &sample, Float *pdf,BxDFType *sampledType = nullptr) const;

反射率

半球方向反射率(半球方向上的全反射)：
$\rho_{hd}(\omega_o)=\int_{H^2(n)}f_r(p,\omega_o,\omega_i) \left|cos\theta_i \right| d\omega_i $

virtual Spectrum rho(const Vector3f &wo, int nSamples,const Point2f *samples) const;

半球-半球反射率（当前半球方向上所有光线都是一样的情况下,类似兰伯特材质）：
$\rho_{hh}=\frac{1}{\pi}\int_{H^2(n)}\int_{H^2(n)}f_r(p,\omega_o,\omega_i) \left|cos\theta_i cos\theta_i \right|d\omega_o d\omega_i $

如果没有提供\(w_o\),计算ρhh，则使用：

virtual Spectrum rho(int nSamples, const Point2f *samples1,const Point2f *samples2) const;

PS.之前看《ray tracing from the ground up》都不知道rho这个函数是啥意思

BxDF缩放适配器

用于取得BxDF的值，并把它缩放至光谱的贡献值。类名为ScaledBxDF

反射高光与透射

在光滑表面（理想状态下）中，反射的出射角与入射角大小相同，遵守菲尼尔定理。一般情况下，计算计算机图形学中的常见操作都会忽略色散现象，以此极大地简化光线传输计算（色散：折射率随着光的波长而变化）。Snell定律：

\(\eta_i sin\theta_i =\eta_t sin \theta_t\)

菲涅尔方程描述了光线接触到表面后反射与透射的比，它实际上Maxwell方程在光滑表面上的求解。
因为在现实环境中光的偏振现象较少，所以在PBRT假设光不偏振。在这个假设下，菲尼尔反射率表示为平行和垂直偏振项的平方的平均值。我们使用\(\eta\)表示折射率

\(r_\parallel=\frac{\eta_t cos\theta_i-\eta_i cos\theta_t}{\eta_t cos\theta_i-\eta_i cos\theta_t}\)

\(r_\bot=\frac{\eta_i cos\theta_i-\eta_t cos\theta_t}{\eta_i cos\theta_i-\eta_t cos\theta_t}\)

对于非偏振光的菲尼尔反射率：

\(F_r=\frac{1}{2}(r_\parallel^2+r_\bot^2)\)

存在几个重要类别需要加以区分：

1. 第一类是绝缘体(非金属)，即不导电的材料。它们有真实的折射率(通常在1-3范围内)，并能透射一部分入射光。例如玻璃、矿物油、水和空气。
2. 第二种是导体(金属)，比如金属。导体的导电性会对电磁波中的电子产生一定影响，所以与介质不同，导体的折射率较为复杂：·\(\overline{\eta}=\eta+ik\),k为吸收系数。
3. 第三种是半导体，本书暂时不考虑。

因为能量守恒的关系，所以绝缘体中透射的能量为1-\(F_r\),FrDielectric函数计算了非偏振光对于绝缘体的菲尼尔反射：

Float FrDielectric(Float cosThetaI, Float etaI, Float etaT) {
    cosThetaI = Clamp(cosThetaI, -1, 1);
    //为了计算透射角的cos值，必须确定是在介质内还是外
    bool entering = cosThetaI > 0.f;
    if (!entering) {
        std::swap(etaI, etaT);
        cosThetaI = std::abs(cosThetaI);
    }

    // Snell定律计算cosThetaT 
    Float sinThetaI = std::sqrt(std::max((Float)0, 1 - cosThetaI * cosThetaI));
    Float sinThetaT = etaI / etaT * sinThetaI;

    if (sinThetaT >= 1) return 1;
    Float cosThetaT = std::sqrt(std::max((Float)0, 1 - sinThetaT * sinThetaT));
    Float Rparl = ((etaT * cosThetaI) - (etaI * cosThetaT)) /
                  ((etaT * cosThetaI) + (etaI * cosThetaT));
    Float Rperp = ((etaI * cosThetaI) - (etaT * cosThetaT)) /
                  ((etaI * cosThetaI) + (etaT * cosThetaT));
    return (Rparl * Rparl + Rperp * Rperp) / 2;
}

导体与绝缘体分界面处的菲尼尔反射率为：
\(r_\bot=\frac{a^2+b^2-2acos\theta+cos^2\theta}{a^2+b^2+2acos\theta+cos^2\theta}\)

\(r_\parallel=r_\bot\frac{cos^2\theta(a^2+b^2)-2acos\theta sin^2\theta +sin^4\theta}{cos^2\theta(a^2+b^2)+2acos\theta sin^2\theta +sin^4\theta}\)

其中：

\(a^2+b^2=\sqrt{(\eta^2-k^2-sin^2\theta)^2+4\eta^2k^2}\)

\(\eta + ik = \overline {\eta_t}/\overline{\eta_i}\)为这个复杂计算后的折射率。但是因为\(\overline{\eta_i}\)是绝缘体的关系，这个部分的计算可以被代替。

Spectrum FrConductor(Float cosThetaI, const Spectrum &etai,
                     const Spectrum &etat, const Spectrum &k) {
    cosThetaI = Clamp(cosThetaI, -1, 1);
    Spectrum eta = etat / etai;
    Spectrum etak = k / etai;

    Float cosThetaI2 = cosThetaI * cosThetaI;
    Float sinThetaI2 = 1. - cosThetaI2;
    Spectrum eta2 = eta * eta;
    Spectrum etak2 = etak * etak;

    Spectrum t0 = eta2 - etak2 - sinThetaI2;
    Spectrum a2plusb2 = Sqrt(t0 * t0 + 4 * eta2 * etak2);
    Spectrum t1 = a2plusb2 + cosThetaI2;
    Spectrum a = Sqrt(0.5f * (a2plusb2 + t0));
    Spectrum t2 = (Float)2 * cosThetaI * a;
    Spectrum Rs = (t1 - t2) / (t1 + t2);

    Spectrum t3 = cosThetaI2 * a2plusb2 + sinThetaI2 * sinThetaI2;
    Spectrum t4 = t2 * sinThetaI2;
    Spectrum Rp = Rs * (t3 - t4) / (t3 + t4);

    return 0.5 * (Rp + Rs);
}

为了方便起见，PBRT抽象了一个Fresnel类，并且提供一个Evaluate()方法，用于估算并且返回菲尼尔反射率。在此基础上创建了FresnelConductor、FresnelDielectric、FresnelNoOp类。

FresnelConductor类存储了入射折射率、透射折射率以及吸收系数k。

FresnelDielectric类存储了入射折射率与透射折射。

FresnelNoOp类为菲尼尔反射率为1的情况。在现实生活中不太可能，但为一些操作提供便捷。

反射

SpecularReflection类继承自BxDF类。
其反射公式：

\(L_o(\omega_o)=\int f_r(\omega_o,\omega_i)L_i(\omega_i) \left| cos\theta_i \right| d\omega_i=F_r(\omega_r)L_i(\omega_r)\)

如果使用狄拉克分布来构造这个BRDF，则有：

\(\int f(x)\delta (x-x0)dx=f(x_0)\)

如果希望BRDF在除了完美反射的地方，别的地方皆为0，就建议使用狄拉克分布，则有：

\(f_r(\omega_o,\omega_i)=\delta(\omega_i-\omega_r)F_r(\omega_i)\)

将其带入方程后得：
\(L_o(\omega_o)=\int \delta(\omega_i - \omega_r)F_r(\omega_i)L_i(\omega_i) \left| cos \theta_i\right| d\omega_i=F_r(\omega_r)L_i(\omega_r) \left| cos \theta_r\right|\)

然而它并不正确，因为有了个额外参数\(\theta_r\)，将因子分离出来，得到正确结果：

$f_r(p,\omega_o,\omega_i)=F_r(\omega_r)\frac{\delta(\omega_i-\omega_r)}{\left| cos\theta_r\right|} $

因为对于任意方向，delta函数不会返回散射值的原因，所以f()返回0.

然而PBRT确实实现了Sample_f()方法，它根据delta分布选择适当的方向。它将输出变量wi设置为提供的方向wo在表面法线附近的反射。*pdf值设置为1;

Spectrum SpecularReflection::Sample_f(const Vector3f &wo, Vector3f *wi,const Point2f &sample, Float *pdf,BxDFType *sampledType) const {
    *wi = Vector3f(-wo.x, -wo.y, wo.z);
    *pdf = 1;
    return fresnel->Evaluate(CosTheta(*wi)) * R / AbsCosTheta(*wi);
}

如何求反射向量?参看图8.8就明白了。代码：

inline Vector3f Reflect(const Vector3f &wo, const Vector3f &n) {
return -wo + 2 * Dot(wo, n) * n;
}

因为由于在BRDF坐标系系统中，法向量为(0,0,1)所以：*wi = Vector3f(-wo.x, -wo.y, wo.z);

透射

我们使用τ来表示光线透射过介质的能量（别的都被反射了）:

\(\tau = 1- Fr(\omega_i).\)

则该介质透射的辐射通量的微分为：

\(d\Phi_o=\tau d\Phi_i\)

使用辐射学的定义代替后：

\(L_ocos\theta_odAd\omega_o=\tau( L_i cos\theta_idAd \omega_i)\)

将平面角度坐标系转换到球面角坐标后：

\(L_ocos\theta_odAsin\theta_od\theta_od\phi_o=\tau( L_i cos\theta_idAsin\theta_id\theta_id\phi_i)\)

将Snell定律进行变换，对于θ有：
\(\eta_ocos\theta_od\theta_o=\eta_icos\theta_id\theta_i=>\frac{cos\theta_od\theta_o}{cos\theta_id\theta_i}=\frac{\eta_i}{\eta_o}\)

将其代入公式8.7中则有：
\(L_o\eta_i^2d\phi_o=\tau L_i\eta_o^2d\phi_i\)

因为\(\phi_i=\phi_o+\pi\)所以\(d\phi_i=d\phi_o\),从而得到：
\(L_o=\tau L_i\frac{\eta_o^2}{\eta_i^2}\)

对于BRDF，我们需要约去一个\(cos\theta_i\)去取得一个正确BTDF用于透射计算。

\(f_r(\omega_o,\omega_i)=\frac{\eta_o^2}{\eta_i^2}(1-F_r(\omega_i))\frac{\delta(\omega_i-T(\omega,n))}{\left| cos\theta_i\right|}\)

其中\(T(\omega_o,n)\)为函数通过法向量与出射角计算出来的透射向量。

因为BTDF是一个缩放后的狄克拉函数，所以f()返回0。

inline bool Refract(const Vector3f &wi, const Normal3f &n, Float eta,
                    Vector3f *wt) {
    Float cosThetaI = Dot(n, wi);
    Float sin2ThetaI = std::max(Float(0), Float(1 - cosThetaI * cosThetaI));
    Float sin2ThetaT = eta * eta * sin2ThetaI;

    if (sin2ThetaT >= 1) return false;
    Float cosThetaT = std::sqrt(1 - sin2ThetaT);
    *wt = eta * -wi + (eta * cosThetaI - cosThetaT) * Vector3f(n);
    return true;
}

Spectrum SpecularTransmission::Sample_f(const Vector3f &wo, Vector3f *wi,const Point2f &sample, Float *pdf,BxDFType *sampledType) const {
    //确定哪个折射率为透射哪个为入射
    bool entering = CosTheta(wo) > 0;
    Float etaI = entering ? etaA : etaB;
    Float etaT = entering ? etaB : etaA;

    //计算透射向量
    if (!Refract(wo, Faceforward(Normal3f(0, 0, 1), wo), etaI / etaT, wi))
        return 0;
    *pdf = 1;
    //透射量计算
    Spectrum ft = T * (Spectrum(1.) - fresnel.Evaluate(CosTheta(*wi)));

    //如果是辐射学模式的话再乘以两个介质的折射率平方商
    if (mode == TransportMode::Radiance) ft *= (etaI * etaI) / (etaT * etaT);
    return ft / AbsCosTheta(*wi);
}

菲尼尔模式下的反射与透射

为了在蒙特卡洛光线传递算法中（14章~16章会介绍）有更好的效率，我们将会使用一种同时带有折射与反射的BxDF。类名为：FresnelSpecular。具体内容详见代码（会在13~14章介绍具体内容）。

LAMBERTIAN反射

类名为：LambertianReflection。
f()返回 辐射度/π

基于微表面的反射模型

OREN–NAYAR漫反射模型

Oren与Nayar在1994年发现现实世界的物体并没有表现出完美的Lambertian反射具体来说，粗糙的表面通常会随着光照方向接近观察方向而变得更亮。

于是他们开发了一个描述粗糙表面反射模型，基于v形状的微表面，使用球形高斯分布参数与一个变量σ描述。σ为光线与视线的偏差角。

因为假设在V形状微表面的情况下，所以仅需考虑相邻的微表面可以互相反射。这是一个经验近似模型：

\(f_r(\omega_i,\omega_o)=\frac{R}{\pi}(A+B max(0,cos(\phi_i-\phi_o))sin\alpha tan \beta)\)

其中σ为弧度制：

$ A=1-\frac{\sigma^2}{2(\sigma^2+0.33)}$

\(B=\frac{0.45\sigma^2}{\sigma^2+0.09}\)

\(\alpha=max(\theta_i,\theta_o)\)

\(\beta=min(\theta_i,\theta_o)\)

代码参见：OrenNayar::f(const Vector3f &wo, const Vector3f &wi)

微表面分布函数

MicrofacetDistribution为微表面分布的基类。其中一个重要特征就是微表面分布函数D(ωh)。该函数定义于与BxDF相同的BSDF坐标系中。

因此,当ωh等于面法线，且狄克拉函数结果不为0的情况下，完美的光滑表面就可以用狄克拉函数来描述。D(ωh)=δ(ωh−(0,0,1))。

微面分布函数必须normalized，以确保它们在物理上是正确的。直观地说，如果我们考虑沿法线方向n的入射光线，那么每条光线必须与微平面精确相交一次。更正式地说，给定微表面的微分面积dA，那么该面积以上的微面投影面积必须等于dA(参见图8.15)。

\(\int_{H^2(n)}=D(\omega_h)cos\theta_h d\omega_h=1\)

MicrofacetDistribution::D()对应D(ωh)。返回

微表面朝向与法向量对于该区域面积的微分。

Beckmann和Spizzichino(1963)提出了一种基于微面坡度高斯分布的微面分布函数，该函数得到了广泛的应用;实现在BeckmannDistribution类中。Beckmann–Spizzichino模型定义为：

\(D(\omega_h)=\frac{e^{-tan^2\theta_h/\alpha^2}}{\pi\alpha^2cos^4\theta_h}\)

如果σ代表了微表面斜度的平方根，那么α=√2σ

这对定义各项异性非常有用，同时正态分布也取决于ωh的方位取向各不相同。那相对的微表面的各向异性分布函数为：
\(D(\omega_h)=\frac{e^{-tan^2\theta_h(cos^2\phi_h/\alpha_x^2+sin^2\phi_h/\alpha_y^2)}}{\pi\alpha_x\alpha_ycos^4\theta_h}\)

注意，当\(a_x=a_y\)时，该公式将会变成各项同性。

另一种有用的微表面分布函数来自Trowbridge and Reitz (1975).具有各项异性变化：

\(D(\omega_h)=\frac{1}{\pi\alpha_x\alpha_ycos^4\theta_h(1+tan^2\theta_h(cos^2\phi_h/\alpha_x^2+sin^2\phi_h/\alpha_y^2))}\)

与Beckmann–Spizzichino相比，Trowbridge–Reitz精度更高，但是速度更慢。

遮罩与阴影

但是微表面的法线分布还是不够的，还需要考虑到可见性问题。这个效果可以用Smith’s masking-shadowing函数G1(ω, ωh)来表现（注意他的定义域为[0,1]）。通常情况下可见性与微表面法线分布式是相互独立的。

\(cos\theta=\int_{H^{2(n)}}G_1(\omega,\omega_h)max(0,\omega \cdot \omega_h)D(\omega_h)d\omega_h\)

换句话说，可见的微表面对于方向ω，必有cosθdA，其中cosθ=(ω · n))

微表面可以看成是一个高度场，每个背光的微表面会遮蔽ω方向上投射面积的向光的微表面。

定义A+为向光面的微表面，A-为背光面的微表面，于是\(cos\theta=A^+(\omega)-A^-(\omega)\)。所以masking-shadowing函数为：

\(G_1(\omega)=\frac{A^+(\omega)-A^-(\omega)}{A^+(\omega)}\)

在每个微表面中不显示区域的比例为：
$ \Lambda{}(\omega)=\frac{A^-(\omega)}{A^+(\omega)-A^-(\omega)}=\frac{A^-(\omega)}{cos\theta}$

我们使用lambda这个函数来计算,同时：
\(G_1(\omega)=\frac{1}{1+\Lambda(\omega)}\)

这个lambda函数可以使用不同的模型来模拟，对于点与点之间没有相关性的模型可以使用Beckmann–Spizzichino：
\(\Lambda(\omega)=\frac{1}{2}(erf(a)-1+\frac{e^{-a^2}}{a\sqrt{\pi}})\)

其中\(a=1/(\alpha tan\theta)\),\(erf(x)=2/\sqrt{\pi}\int_0^x{e^{-x'^2}}dx'\)

PBRT使用了合理的基于物理的多项方程式计算 Beckmann–Spizzichino，这样避免计算了std::erf()与std::exp()，所以计算效率更高。

Masking-shadowing函数的各项异形版本可以通过各向同性版本修改得到。

<Compute alpha for direction w> ≡ 543
Float alpha = std::sqrt(Cos2Phi(w) * alphax * alphax +
Sin2Phi(w) * alphay * alphay);

在高度不相关的前提下，\(\Lambda(\omega)\)对于Trowbridge–Reitz分布可以简化为：
\(\Lambda(\omega)=\frac{-1+\sqrt{1+\alpha^2tan^2\theta}}{2}\)

最后一个有用的是几何属性的微表面分布\(G_1(\omega_o,\omega_i)\),假设从这两个方向观察这个微表面，其可见度的概率是相互独立的，则有
\(G_1(\omega_o,\omega_i)=G_1(\omega_o)G_1(\omega_i)\)

实际上不可能的，因为漏算了当ωo=ωi这个情况。在这个情况下G(ωo, ωi) = G1(ωo) = G1(ωi).这会导致下G(ωo, ωi)过小。同时，当ωo与ωi越接近，其相关性也越大。因此可以推断一个更加精确的微表面模型，假设在微表面上的点越高，其可见度越高。

\(G(\omega_o,\omega_i)=\frac{1}{1+\Lambda(\omega_o)+\Lambda(\omega_i)}\)

这个模型相当精确，PBRT也在使用这个，更为精确的模型请看扩展阅读，当然那个地方我就懒得看了。

Float G(const Vector3f &wo, const Vector3f &wi) const {
    return 1 / (1 + Lambda(wo) + Lambda(wi));
}

TORRANCE–SPARROW模型

Torrance and Sparrow 于1967年发现了这个微表面模型用于模拟金属表面。这段还是去看知乎上那些介绍实时渲染PBR模型的文章比较好。

$
f(\omega_{o},\omega_{i})=\frac{D(\omega_{h})F(\omega_{o})G(\omega_{o},\omega_{i})}{4 cos\theta_o cos\theta_i}
$

代码在MicrofacetReflection中的f()中。MicrofacetTransmission则实现了透射效果。入射介质折射率、透射介质折射率以及\(d\omega_h d\omega_o\)的关系如下：

\(d\omega_h=\frac{\eta_o^2 \left | \omega_o \cdot \omega_h\right|d\omega_o}{(\eta_i(\omega_i \cdot \omega_h)+\eta_o(\omega_o \cdot \omega_h))^2}\)

代入之前的公式：

\(f_r(\omega_o,\omega_i)=\frac{\eta^2D(\omega_h)G(\omega_o,\omega_i)(1-F_r(\omega_o))}{((\omega_o \cdot \omega_h)+\eta(\omega_i \cdot \omega_h))^2}\frac{\left| \omega_i \cdot \omega_h\right| \left|\omega_o \cdot \omega_h \right|}{cos\theta_o cos\theta_i}\)

其中\(\omega_h=\omega_o+\eta \omega_i\)

多层材质模型

很多BRDF模型都没有考虑到在多层材质中，最底层的材质对于光线的影响。Ashikhmin和Shirley(2000, 2002)开发了模拟这种表面是粗糙的漫反射，底面为光滑的镜面反射的多层材质的BRDF模型。图8.23显示了这个想法:当入射方向接近垂直时，大部分光被传输到漫反射表层，漫反射占主导地位。当入射方向接近掠射时，底层的镜面反射占主导地位。车漆就适合用这种模型来表现。类名为FresnelBlend。

FresnelBlend类设置了两个辐射度变量分别来控制漫反射与镜面反射，以及一个微表面分布变量来控制高光层。

这个模型基于镜面反射层与漫反射层的权重和。再考虑了能量守恒的情况下，其镜面高光部分为：
\(f_r(p,\omega_o,\omega_i)=\frac{D(\omega_h)F(\omega_o)}{4(\omega_h \cdot \omega_i)(max((n \cdot \omega_o),(n \cdot \omega_i))}\)

下面使用了Schlick菲尼尔近似模型。其漫反射部分为：
\(f_r(p,\omega_i,\omega_o)=\frac{28R_d}{23\pi}(1-R_s)(1-(1-\frac{(n\cdot \omega_i)}{2})^5)(1-(1-\frac{(n \cdot \omega_o)}{2})^5)\)

最终返回镜面高光+漫反射的值。