[CSAcademy]Sum of Powers

[CSAcademy]Sum of Powers

题目大意：

给定\(n,m,k(n,m,k\le4096)\)。一个无序可重集\(A\)为合法的，当且仅当\(|A|=m\)且\(\sum A_i=n\)。定义一个集合的贡献为\(\sum A_i^k\)，求所有满足条件的集合的贡献之和。

思路：

\(f[i][j]\)表示将\(j\)个数之和为\(i\)的方案数，有如下两种转移：

1. \(f[i][j]+=f[i-1][j-1]\)，表示新加入一个元素\(1\)；
2. \(f[i][j]+=f[i-j][j]\)，表示集合内每个元素\(+1\)。

可以证明这样就不重复、不遗漏地包含了所有的集合。

由于每个元素的贡献独立，最后枚举每种元素及其出现次数并计算贡献即可。

时间复杂度\(\mathcal O(nm)\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int N=4097,mod=1e9+7;
int f[N][N];
inline int power(int a,int k) {
    int ret=1;
    for(;k;k>>=1) {
        if(k&1) ret=1ll*ret*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;
    }
    return ret;
}
int main() {
    const int n=getint(),m=getint(),k=getint();
    f[0][0]=1;
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        for(register int j=1;j<=m&&j<=i;j++) {
            f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-j][j])%mod;
        }
    }
    int ans=0;
    for(register int i=1;i<=n-m+1;i++) {
        const int pwr=power(i,k);
        for(register int j=1;j<=m&&i*j<=n;j++) {
            (ans+=1ll*pwr*f[n-i*j][m-j]%mod)%=mod;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}