【NOIP 2018 提高组】货币系统

【题目】

传送门

题目描述：

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1...n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i]× t[i]$ 的和为 $x$。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 $n=3, a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

输入格式：

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。

每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。接下来一行包含 $n$ 个由空格隔开的正整数 $a[i]$。

输出格式：

输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

样例数据：

输入
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17

输出
2
5

说明：

在第一组数据中，货币系统 $(2, [3,10])$ 和给出的货币系统 $(n, a)$ 等价，并可以验证不存在 $m < 2$ 的等价的货币系统，因此答案为 $2$。 在第二组数据中，可以验证不存在 $m < n$ 的等价的货币系统，因此答案为 $5$。

【分析】

暴力大法好啊， $dfs$ A 了。。。

分析题目，不难发现如果在一个货币系统中，一种面额可以被凑出来，那它就可以不要

举个例子，对于货币系统 $[2,3,5]$，由于 $5$ 可以被凑出（ $5=3+2$），那么这个货币系统就等价于 $[2,3]$（因为凡是出现 $5$ 就可以拆成 $2$ 和 $3$）

那就相当于判断每个数可不可以被其他数凑出

其实这就是一个经典背包计数问题，用 $f_i$ 表示凑出 $i$ 的方案数， $a_i$ 就是物品的价格，由于可以选多个，就用完全背包

最后 $f_i=1$ 的就不能被凑出（但它可以被自己凑出，因此为 $1$），累计答案即可

【代码】

正解：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 105
#define M 25005
using namespace std;
int a[N],f[M];
int main()
{
//	freopen("money.in","r",stdin);
//	freopen("money.out","w",stdout);
	int n,i,j,T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		int Max=0,ans=0;
		for(i=1;i<=n;++i)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			Max=max(Max,a[i]);
		}
		memset(f,0,sizeof(f));
		f[0]=1;
		for(i=1;i<=n;++i)
		    for(j=a[i];j<=Max;++j)
		        f[j]+=f[j-a[i]];
		for(i=1;i<=n;++i)
		    if(f[a[i]]==1)
		        ans++;
		printf("%d\n",ans);
	}
//	fclose(stdin);
//	fclose(stdout);
	return 0;
}

顺便贴一下暴力 $dfs$ 的代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 105
#define M 25005
using namespace std;
int n,a[N],Times[M];
bool comp(int a,int b)  {return a>b;}
void Dfs(int x,int Sum,int Limit)
{
	if(Sum>Limit)
	  return;
	if(x>n)
	{
		Times[Sum]++;
		return;
	}
	int num=-1;
	while(Sum+(num+1)*a[x]<=Limit)
	{
		num++;
		Dfs(x+1,Sum+num*a[x],Limit);
	}
}
int main()
{
//	freopen("money.in","r",stdin);
//	freopen("money.out","w",stdout);
	int i,T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		int Max=0,ans=0;
		memset(Times,0,sizeof(Times));
		for(i=1;i<=n;++i)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			Max=max(Max,a[i]);
		}
		sort(a+1,a+n+1,comp);
		Dfs(1,0,Max);
		for(i=1;i<=n;++i)
		    if(Times[a[i]]==1)
		        ans++;
		printf("%d\n",ans);
	}
//	fclose(stdin);
//	fclose(stdout);
	return 0;
}