基础知识
- 排列组合公式
分子分母同时乘以(NK)得到下面的公式!;
用(NK)代替ķ得到下面的公式
- 帕斯卡三角
完全图边数:n(n-1)/ 2 =
递归式:
例:假设从Ñ个人中选ķ个成立委员会,组合数为。可以假设这Ñ个人中有个叫“李小怪”的人,这个委员会可以分为两种情况,有“李小怪”和没有“李小怪”。对于“李小怪”在委员会中的情况,我们只需要从第(N-1)中抽出(K-1)人即可,即。对于“李小怪”没有被选为委员会的情况,我们我们只需要从第(N-1)中抽出ķ人即可,即。
帕斯卡三角形第ň行的所有数之和为
也是同时二项式系数 令A = 1,B = 1则得到上面的式子
还可以令a = 1,b = -1 ; a = 1,b = 2; A = 1,B = X.
,推导可以出也。就是从帕斯卡三角形第ķ行的最后一个元素开始,网左下方移动,知道第ķ+ R行,遍历的这R + 1个元素的和恰是ķ+ R行那个元素右下方数。
四面体数:一个以三角形为地基的金字塔的总点数,该金字塔第我层的点数等于第一个三角形数上面的公式表明了第 - [R个四面体数等于。
图的基本概念与应用
阶(点的集合的基数),
规模(边的集合的基数),
邻接(结点之间有边相连),非邻接,
完全图(所有结点对都邻接)
结点的度(与该结点相邻的结点数),
孤立点(度为0的结点),
端结点/叶子(度为1的结点),
最小/大度(所有结点的最小/大度数),
正则图(所有结点具有相同的度数),
R-正则图(所有结点度数为R),
多重图(一个给定的结点对有多条边与之对应)
平凡图\树平凡指仅有一个结点的图
- 定理2.1在任何图中,结点度的总和等于边数的2倍。
UV通道,
通道的长度(边的数量),
迹(一个通道中没有重复的边。迹中结点是可以重复的),
回路(迹开始和结束于相同的结点,称该迹的英文闭的),
路(通道中没有重复的结点。路也是迹)(),
一个闭路称为圈()。
连通图(图中任意两个结点之间存在路),非连通图,
测地路线/测地线(最短的路),
连通分量(极大连通子图)
图ħ是图ģ的子图(点集和边集都为ģ子集),则图G ^是图ħ的超图(V(G)表示结点集E(G)表示边集)
图H是图G的生成子图(V(G)= V(H)),可以通过删除G的边来得到G的生成子图。
- 注记:对于标记图G,若,并且在标记图G中共有k条边连接了S中的所有结点,那么,G的以S为结点集的子图数为,一个有k条边的标记产品图产品有个生成子图产品产品
- n个结点的完全图()是唯一含n结点的连通(n-1) - 正则图
- n个结点的圈()是唯一含n结点的2-正则图
- Ñ个结点的路(),,, 的英文的生成子图产品
- 完全二分图()是指图的结点集可以分成两个非空集合A,B,分别有m,n个结点,A中的每个结点要与B中的每个结点关联,且都只与B中的结点相关联。星()
图ģ与图ħ 同构的英文指图ģ中的结点ü和v相邻接当且仅当它们在图ħ中对应的结点也邻接。
适用于图ģ的结论也适用于ģ的同构图ħ
- 如果产品图产品两个同构,则应相对结的点有相同的度数
- 设图ģ与图ħ同构,同构函数为F.若在图ģ中,结点V1与V2间的测地线为V1,V2,V3 ... VK则在图ħ中F(V1) ,F(V2),F(V3)... F(VK)是结点F(V1)与F(VK)间的测地线。
含Ñ个结点图ģ的度序列的英文指按照结点度数个结果排列的正元型态型态非递增序列
- 同构的图必然有相同的度序列
小号序列的英文柯林斯绘图的(某图的度序列),英文的一定偶数
可绘图度序列的判定算法
1.从序列小号中删除第一个数ķ
2.如果小号的第1个数后的ķ个数都大于等于1,则将这ķ个数分别都减去1得到新序列S';否则停止,得出原序列不可绘的结论,若小号“全是0时,停止,得原序列可绘图
3.将步骤2得到的序列S'重新排序,得到非递增序列S *
4.令S = S *,转步骤1
图常量(用来判别图是否同构):指根据图的某个性质定义的函数,即同构图具有相同的函数值。常见图常量:阶,规模,度序列,连通分量个数,图中最长路,具有给定唯一度数结点时间的测地线长度,具有唯一度数结点的邻接点的度
- 图操作
并 与状语从句:
轮()是指和的和,即 = +
G1,G2,G3 ... Gk的序列和 G1 + G2 + G3 + ... + Gk在每个图的副本的基础上,再增加连接图Gi和Gi + 1任意结点的边。
与边结点的删除(删除结点时,需要把所有与结点相关联的边删除;删除边时,仅删除边即可)
补图
- 非连通图的补图是连通图
自补图:图ģ补与其图同构
笛卡尔积 GXH,叫做ģ叉乘ħ
立方体超 递归定义,即在定义了第一个超立方体之后,每一个超立方体是由它前一个构造得到的
网格 2-网格M(N,M)是由PM与光合速率叉乘得到的,3-网格M(A,B,C)是由PA,PB,PC叉乘得到的
线图L(G) 的结点集是由图ģ的边组成的
收缩边设UV是图ģ的一条边,我们将结点U,V去掉,并将与这两个结点相关联的边也去掉,然后增加一个新的结点UV *,UV *与原结点相邻接的结点邻接,得到的新图记为G / UV