877. 石子游戏
1. 题目描述
题目链接
亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。
亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。
假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。
示例：
输入：[5,3,4,5]
输出：true
解释：
亚历克斯先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果李拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果李拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。
提示：
2 <= piles.length <= 500
piles.length 是偶数。
1 <= piles[i] <= 500
sum(piles) 是奇数。
2. 题目分析
刚看到这题目时，我单纯的以为只要使用贪心算法，每次在开始处和结束处选择更大的那堆石子，最后拿到总的石子数就会是最多的，后面发现有一些用例测试过不去。所以重新思考这个流程，发现，这个题目要求的是的全局最优解，而不是局部最优解，我们如果使用贪心算法，找到的只是局部最优解，但不一定是全局最优解。
比如说[6,9,4,2]，贪心算法的话，第一人首先会选择6，那么第二人则选择9，第一人再选择4，第二人会选择2，那么最终第一人获得石子数：6+4=10；第二人：9+2=11；11 > 10，所以第二人会获胜，这显然不是我们不要的结果。
那如果找全局最优解呢？其中困扰我的一点是，我并不知道当前的决定是如何影响后面的结果，那我要怎么样才能找到最优解。同时，我要考虑让第一人每次拿到最优解，又要让第二人也是每次拿到最优解，想着想着就把自己绕晕了。。。。
这说明我动态规划的思想还没完全成熟，很难在这种递归子问题中旅顺一条最优解的思路【蓝瘦，香菇】。
像这种有两个角色的问题，我一开始思考问题是，分别从两个角色的角度思考，那么就会有两个变量，所以想着想着，自己都乱了，更不用说找到实现问题的编码思路了。所以针对这种问题，最好是只从一个角度出发，既然另外一个角色会依赖第一个角色的决定，那么用替换法，通过一个第一角度替换第二角色的角度。
比如说这个选择石子的问题，我们每次只能拿两端的石头堆的石头，但我们又不知道拿完后剩下的石头堆的情况，因此我们考虑先解决子问题。例如我们求出2个相邻石头堆的胜负情况，我们可以根据求出的数据求出相邻3个石头堆的胜负情况，以此类推，我们可以根据n-1个相邻石头堆的胜负情况，求出n个相邻石头堆的胜负情况，即我们的原问题。
每次取石头堆只能从两端取，那么第一个可以选择的石子堆的方式有两种：
- 第一种：第一个人拿第i堆，那么第二个就可以从第（i+1）堆和第（j）堆中选择最优的石子堆（前面已经分析过了，不一定是更多的那一堆）；
- 第二种：第一个人拿第j堆，那么第二个就可以从第（i）堆和第（j-1）堆中选择最优的石子堆（前面已经分析过了，不一定是更多的那一堆）；
因此，第一人选择的时候，必须选择这两种方法中的最优石子堆。
根据我们的类推，我们可以设：
dp[i][j]表示为，从第i堆到第j堆石子中，第一个人最多可以比第二个人多拿到的石子数，即在一次选择石头堆的过程中，有两个步骤，第一个人在第（i+1）堆和第（j）堆中选择最优的石子堆，那么第二个就会根据第一人的选择，从剩下的石头堆中选择最优的石子堆，然后两者相减，差值取最大，那么这个结果就是当前第一个人做出的最优选择。
状态转换方程是：dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j], piles[j] - dp[i][j-1])。
- piles[i] - dp[i+1][j]表示第一人取走第（i）堆的石头堆， dp[i+1][j]表示第二个就可以从第（i+1）堆和第（j）堆中选择最优的石子堆，然后piles[i] - dp[i+1][j]表示第一个人最多可以比第二个人多拿到的石子数；
- piles[j] - dp[i][j-1]表示第一人取走第（j）堆的石头堆，dp[i][j-1]表示第二个就可以从第（i）堆和第（j-1）堆中选择最优的石子堆，然后piles[j] - dp[i][j-1]表示第一个人最多可以比第二个人多拿到的石子数；
- 对于dp[i][i]来说，就是只有一堆石子可供选择，那么第一个直接选择这一堆，自然是piles[i]本身；
3. 解决思路
状态：dp[i][j]表示为，从第i堆到第j堆石子中，第一个人最多可以比第二个人多拿到的石子数。
状态转换方程是：dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j], piles[j] - dp[i][j-1])
另外一定小机灵的分析方法，既然根据题目提供的条件，偶数堆+总数为奇数，说明一定存在有个胜利者，那么就一定存在一条选择方式能保证顺利到达胜利，所以只要第一个人选择这条路径，那么也能一定获得胜利。也就是说，第一个开始的人选择最优解一定会赢。
4. 代码实现（java）
- 方法一：
package com.algorithm.leetcode.dynamicAllocation;
/**
* Created by 凌 on 2018/12/12.
* 描述：877. 石子游戏
*/
public class StoneGame {
public static void main(String[] args) {
// int[] nums = {5,3,4,5};
// int[] nums = {4,5,7,9,2,6};
int[] nums = {3,7,2,3};
boolean result = stoneGame(nums);
System.out.println(result);
}
public static boolean stoneGame(int[] piles) {
int len = piles.length;
int[][] dp = new int[len][len];
for (int i = 0; i < len; i++) {
dp[i][i] = piles[i];
}
//依次计算相邻2个石头堆到n个石头堆的情形
//两层循环的意思：每次外层循环控制i到j中间的数量，j是从第2堆到第n堆，第二层循环控制从第一堆（下标为0）到第dis堆
for (int dis = 1; dis < len; dis++) {
for (int i = 0; i < len-dis; i++) {
int j = dis+i;
dp[i][j] = Math.max(piles[i] - dp[i+1][j], piles[j] - dp[i][j-1]);
}
}
return dp[0][len-1] > 0;
}
}
- 方法二：
public static boolean stoneGame(int[] piles) {
return true;
}