灰度共生矩阵

灰度共生矩阵(GLCM) OR 灰度共现矩阵

这里我觉得叫它共现矩阵更为贴切，因为它代表的是像素对共同出现的概率。
下面是主要内容：

1. 像素坐标平面(注意其中的术语)
2. 灰度共现矩阵公式
3. 归一化处理
4. 基本符号
5. 纹理特征

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像素坐标平面

$图 1$

如图1所示， oxy 为图像像素的坐标平面，灰度坐标为 z 轴， x 方向的像素 总数为 $N_x$， y 方向像素 总数为 $N_y$。为减少计算量，将图像进行量化，量化后其最高灰度级记为 $N_g$。
$$L_x = \{1,2,...,N_x \}$$ $$L_y = \{1,2,...,N_y\}$$ $$G = \{1,2,...,N_g\}$$
图像 f 理解为从 $L_x×L_y$到 G的一个变换，即对 $L_x×L_y$中的每一个像素，都对应一个属于 G 的灰度。图1中， $m,n$ 代表像素1的行和列， $j$ 代表像素1的灰度值； $k,l$ 代表像素2的行和列， $i$ 代表像素2的灰度值。 $d$ 代表两个像素之间的距离， $\theta$ 为连接两像素点的线段与 $x$轴成的方向。

灰度共现矩阵公式

定义方向为$\theta$，间隔为$d$的灰度共生矩阵为：

$$p(i,j,d,\theta)$$ 它表示图像中两个灰度值分别为 $i,j$的两个像素相距 $d$，角度为 $\theta$。其中 $\theta$=0°，45°，90°，135°，如图2所示.

$图2$

使用 #{…}表示集合中元素的个数。于是有：
$$P(i,j,d,0°)=\#\{((k,l),(m,n))\in(L_y×L_x)×(L_y×L_x) | k-m=0, |l-n|=d;f(k,l)=i,f(m,n)=j\}$$ $$P(i,j,d,45°)=\#\{((k,l),(m,n))\in(L_y×L_x)×(L_y×L_x) | k-m=d, l-n=d　or　(k-m=-d,l-n=-d);f(k,l)=i,f(m,n)=j\}$$ $$P(i,j,d,90°)=\#\{((k,l),(m,n))\in(L_y×L_x)×(L_y×L_x) ||k-m|=d, l-n=0;f(k,l)=i,f(m,n)=j\}$$ $$P(i,j,d,135°)=\#\{((k,l),(m,n))\in(L_y×L_x)×(L_y×L_x) |k-m=d, l-n=-d　or　(k-m=-d,l-n=d);f(k,l)=i,f(m,n)=j\}$$
上述公式看似复杂，其实对照图1理解起来较为简单，重点理解 集合的概念。
举个栗子：

行\列\灰度值	1	2	3	4
1	0	0	1	1
2	0	0	1	1
3	0	2	2	2
4	2	2	2	3

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　表1
表1代表了一幅灰度图像，图像大小为4×4，灰度级为0,1,2,3； 由于这里从零开始计数，因此，

$$L_x = \{1,2,3,4\}$$ $$L_y = \{1,2,3,4\}$$ $$G = \{0,1,2,3\}$$ 即 $N_x$=4, $N_y$=4, $N_g$=3
在该图像中，如果要求 $p(i,j,d,0°)$，首先要列举出水平方向上，距离相距为1的点对集合：

(1,1),(1,2)	(1,2),(1,1)	(1,2),(1,3)	(1,3),(1,2)	(1,3),(1,4)	(1,4),(1,3)
(2,1),(2,2)	(2,2),(2,1)	(2,2),(2,3)	(2,3),(2,2)	(2,3),(2,4)	(2,4),(2,3)
(3,1),(3,2)	(3,2),(3,1)	(3,2),(3,3)	(3,3),(3,2)	(3,3),(3,4)	(3,4),(3,3)
(4,1),(4,2)	(4,2),(4,1)	(4,2),(4,3)	(4,3),(4,2)	(4,3),(4,4)	(4,4),(4,3)

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　表2
注：可以看出，这样的排列是有顺序的，水平方向上间距为1的排列共有$2(N_x-1)×N_y$种（每一行有$2(N_x-1)$种排列，共$N_y$行）；以此类推，45°方向上间距为1的排列共有$2(N_x-1)×(N_y-1)$，垂直方向上间距为1的排列共有$2(N_x-1)×N_y$种，135°方向上间距为1的排列共有$2(N_x-1)×(N_y-1)$，将以上四种排列相加得到归一化常数R。
根据表1，我们可以可到四个方向上间距为1的共生矩阵。灰度共生矩阵以灰度值为行列轴坐标，与图像的大小并无关系。根据表1、2，我们可以得到水平方向上间距为1、大小为4×4的共生矩阵，行列轴坐标可取值为0,1,2,3.举例：在$(0°，d=1)$共生矩阵(0,0)位置的元素值表示在水平方向上相距$d$的两像素灰度值分别为0和1，这样的像素对个数，在表1中，共有4对，其位置分别为[(1,1),(1,2)],[(1,2),(1,1)],[(2,1),(2,2)],[(2,2),(2,1)]。以此类推，得到表1四个方向上间距为1的共生矩阵如下：

4	2	1	0
2	4	0	0
1	0	6	1
0	0	1	2

　　　　　　　　　　　　　　$(0°，d=1)$

4	1	0	0
1	2	2	0
0	2	4	1
0	0	1	0

　　　　　　　　　　　　　　$(45°，d=1)$

6	0	2	0
0	4	2	0
2	2	2	2
0	0	2	0

　　　　　　　　　　　　　　$(90°，d=1)$

2	1	3	0
1	2	1	0
3	1	0	2
0	0	2	0

　　　　　　　　　　　　　　$(135°，d=1)$
　　　　　　　　　　　　　　

归一化处理

在上面我们介绍了归一化常数R，归一化处理也是正规化处理，标准化处理，即将灰度共生矩阵除以该常数R得到一个概率矩阵。换言之，灰度共生矩阵中的每个元素值都是在某方向上间隔$d$的像素对共同出现的个数，除以总的个数，就得到了像素对共同出现的概率。

基本符号

$p(i,j)$表示$(\theta,d)$共生矩阵中像素对共同出现的概率，=$P(i,j)/R$。(注意大小写 )
$p_x(i)$表示$(\theta,d)$共生矩阵中第$i$行的概率和，=$\sum_{j=1}^{N_g}{p(i,j)}$。(i是灰度值 )
$p_y(j)$表示$(\theta,d)$共生矩阵中第$j$行的概率和，=$\sum_{i=1}^{N_g}{p(i,j)}$。(j是灰度值 )

纹理特征

均值

$\mu_x=\sum_{i=1}^{N_g}{i\sum_{j=1}^{N_g}{p(i,j)}}=\sum_{i=1}^{N_g}{i*p_x(i)}$
$\mu_y=\sum_{j=1}^{N_g}{j\sum_{i=1}^{N_g}{p(i,j)}}=\sum_{j=1}^{N_g}{j*p_y(j)}$
注意:如果灰度共生矩阵是对称阵，那么$\mu_x，\mu_y$一般来说是相等的。

方差

$\sigma_x=\sum_{i=1}^{N_g}{\sum_{j=1}^{N_g}{(i-\mu_x)^2*p(i,j)}}=\sum_{i=1}^{N_g}{(i-\mu_x)^2*{p_x(i)}}$
$\sigma_x=\sum_{i=1}^{N_g}{\sum_{j=1}^{N_g}{(j-\mu_y)^2*p(i,j)}}=\sum_{j=1}^{N_g}{(j-\mu_x)^2*{p_y(j)}}$

角二阶矩、对比度、相关性、熵等特征不在列举，可在引用中查找

本人在图像检索方面属于刚入门的新手，上述内容若有错误的地方，还请读者大佬批评指正。
最后奉上引用的资源链接https://download.csdn.net/download/saw009/10364977

REFERENCES

[1] Haralick R M, Shanmugam K, Dinstein I. Textural Features for Image Classification[J]. Systems Man & Cybernetics IEEE Transactions on, 1973, smc-3(6):610-621.
[2] 周明全. 基于内容图像检索技术[M]. 清华大学出版社, 2007.
[3] https://wenku.baidu.com/view/364508b3e109581b6bd97f19227916888486b90d.html?from=search