[UOJ 300] 【CTSC2017】吉夫特

【CTSC2017】吉夫特

UOJ 300

题目大意

给出大小为 \(n\) 的两两互异的数组 \(a\) ，问有多少个不下降子序列满足 \(\prod_{i=2}^k \binom{a_{k-1}}{a_k} \; mod \; 2 > 0\) ，答案模 \(1000000007\)

数据范围

\(1 \le n \le 211985, 1 \le a_i \le 233333\)

时空限制

2s, 512MB

分析

由于模 \(2\) 的性质，我们要保证每个组合数都是奇数，这时我们想到与组合数有关的卢卡斯定理，得到
\[ \binom {x}{y} \; mod \; 2 = \binom {\lfloor \dfrac x2 \rfloor}{\lfloor \dfrac y2 \rfloor} \times \binom {x \; mod \; 2}{y \; mod \; 2} \]
发现这就是对于二进制的每一位考虑是否满足，不能出现 \(\binom 01\) ，也就是 \(x\) 是 \(y\) 的超集，由于 \(a\) 互异，所以我们直接枚举超集转移即可，因为 \(a_i\) 互不相等，所以时间为 $O(3^n) $

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
inline char nc() {
    static char buf[100000], *l = buf, *r = buf;
    return l==r&&(r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),l==r)?EOF:*l++;
}
template<class T> void read(T & x) {
    x = 0; int f = 1, ch = nc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=nc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10-'0'+ch;ch=nc();}
    x *= f;
}
const int maxn = 211985 + 5;
const int maxa = 233333 + 5;
const int mod = 1000000007;
int n, m, a[maxn];
int f[maxa];
inline void add(int & x, int y) {
    x += y;
    if(x >= mod) x -= mod;
}
int solve() {
    int re = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        int x = a[i];
        for(int j = (x + 1) | x; j <= m; j = (j + 1) | x) {
            add(f[x], f[j]);
        }
        add(re, f[x]), add(f[x], 1);
    }
    return re;
}
int main() {
//  freopen("testdata.in", "r", stdin);
    read(n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        read(a[i]), m = max(m, a[i]);
    }
    printf("%d\n", solve());
    return 0;
}