案例A：
\(\tan\theta\)的各种可能给出方式
- 限定条件以简单变形形式给出，如已知\(tan\theta=2\)，求\(\cfrac{sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\cfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}=2\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\theta\)角的终边过点\((4，3)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\theta\)角的终边在直线\(3x+4y=0\)上，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知如图，\(\tan\theta=AT\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\sin\theta=2\cos\theta\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\tan2\theta=-\cfrac{4}{3}\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
若倾斜角为\(\alpha\)的直线\(l\)与曲线\(y=x^4\)相切于点\((1，1)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
已知\(\sin(\cfrac{\pi}{6}-\alpha)=\cos(\cfrac{\pi}{6}+\alpha)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
以双曲线的渐近线的夹角形式给出
分析：由题目可以知道，其渐近线为\(y=\pm 2x\)，
取其一\(y=2x\)，则其倾斜角为\(\theta\)，可知\(tan\theta=2\)，
求\(tan\alpha\)的思路之一：
又知道\(\theta+\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\theta=\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\alpha}{2}\)，带入上式得到，
\(tan\theta=tan(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\alpha}{2})=cot\cfrac{\alpha}{2}=2\)，即\(cot\cfrac{\alpha}{2}=2\)，
则\(tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1}{2}\)，由\(tan\alpha=\cfrac{2tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-tan^2\cfrac{\alpha}{2}}\)得到，\(tan\alpha=\cfrac{4}{3}\)。
求\(tan\alpha\)的思路之二：
用三角函数的定义，在\(y=2x\)上取点\((1，2)\)，\(tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1}{2}\)，
由\(tan\alpha=\cfrac{2tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-tan^2\cfrac{\alpha}{2}}\)得到，\(tan\alpha=\cfrac{4}{3}\)。
到此，题目转化为已知\(tan\alpha=\cfrac{4}{3}\)，求\(cos2\alpha=？\)的值。
\(cos2\alpha=\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha+sin^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}\)。
案例B：直线斜率的给出方式
利用斜率\(k=\tan\alpha\)的定义；
利用过两点的坐标，
利用导函数\(k=f'(x_0)\)给出，
如若倾斜角为\(\alpha\)的直线\(l\)与曲线\(y=x^4\)相切于点\((1，1)\)，则\(k=tan\alpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4\)。
- 利用函数的切线的方向向量的坐标。
案例C： 圆的给出方式
定义式：\(|OA|=r\)
方程式：标准式方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)；
一般式方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)\)；
直径式方程\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)(其中圆的直径的端点是\(A(x_1，y_1)、B(x_2，y_2)\))。
参数式：\(x=r\cdot cos\theta，y=r\cdot sin\theta\)或\((r\cdot cos\theta，r\cdot sin\theta)\)
极坐标式：\(\rho=3，\theta\in [0，2\pi)\)
向量式：已知点\(M\)为曲线上的动点，点\(A,B\)为两个定点，且满足关系\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)，则点\(M\)的轨迹方程是圆。
案例D：
\(A,B,C\)三点共线的给出方式或证明思路
向量表示形式：\(\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}\)或\(\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{AC}\)
距离表示形式：\(|AB|+|BC|=|AC|\)
斜率表示形式:\(k_{AB}=k_{AC}\)
案例E：
\(a_{n+1}-a_n=3\)的给出方式
直接给出：\(a_{n+1}-a_n=3\)
变形给出：\(a_{n+1}=a_n+3\)
运算给出：\((a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=0\)，\(a_n>0\)
向量给出：\(\overrightarrow{P_nP_{n+1}}=(1，a_{n+1}-a_n)=(1，3)\)
案例F：对称中心的给出方式
直接给出：如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)的对称中心是\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)
间接给出：如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)过点是\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)，则点\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)必是函数的对称中心
间接给出：如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)，满足\(\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}f(x)\, dx=0\)，则点\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)必是函数的对称中心
隐晦给出：如函数满足\(f(x)+f(\cfrac{2\pi}{3}-x)=0\)，则点\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)必是函数的对称中心
案例G：相等关系的给出方式
直接给出：如\(f(2)=4\)，
以不等关系给出：如\(2x\leq f(x)\leq \cfrac{1}{2}x^2+2\)对任意\(x\in R\)恒成立，则赋值可得\(4\leq f(2)\leq 4\)，即\(f(2)=4\)；
再比如\(|k|\leq 0\)，即等于给出\(k=0\)；\((m-1)^2\leq 0\)，即等于给出\(m=1\)；
案例H：不等式的解的给出方式
直接给出：\(x=1\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解，求\(a\)的范围。
间接给出：集合\(\{1\}\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解集\(A\)的真子集，求\(a\)的范围。
间接给出：\(x=1\)满足不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)是真命题，求\(a\)的范围；\(x=1\)满足不等式\(x^2-2x+a> 0\)是假命题，求\(a\)的范围。
隐晦给出：集合\(A=\{x\mid x^2-2x+a>0\}\)，\(1\notin A\)，求\(a\)的范围；
案例J：函数的性质的给出方式
单调性，奇偶性，周期性，对称性等
案例K：
\(\omega\)的给出方式
直接给出：函数\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的横坐标缩短为原来的\(\cfrac{1}{3}\)，即新的\(\omega=3\)；
间接给出：\(f(x)=2sin(x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的横坐标扩大了\(2\)倍，即图像的横坐标扩大为原来的\(3\)倍，即新的\(\omega=\cfrac{1}{3}\)；
间接给出：\(f(x)=2tan\omega x(\omega>0)\)的图像的相邻两支截直线\(y=2\)所得的线段长为\(\cfrac{\pi}{2}\)，即\(T=\cfrac{\pi}{\omega}=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\omega=2\)；
案例K：二次函数的系数的给出方式
直接给出：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)的系数\(a=?\)，
间接给出：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)，有且只有一个零点，则\(\Delta =0\)，解得\(a=4\)；
间接给出：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)，\(f(x)\)的值域为\([0，+\infty)\)，则\(\Delta =0\)，解得\(a=4\)；
数列的周期性的给出方式：注意
\(a_n=f(n)\)
\(a_{n+2}=a_n\)；类比\(f(n+2)=f(n)\)，再类比\(f(x+2)=f(x)\)；
\(a_{n+2}=-a_n\)；类比\(f(n+2)=-f(n)\)，再类比\(f(x+2)=-f(x)\)；
\(a_{n+1}=\cfrac{k}{a_n}\)；\(k\)为常数；类比\(f(n+2)=\cfrac{k}{f(n)}\)，再类比\(f(x+2)=\cfrac{k}{f(x)}\)，；
\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)；类比\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\)，再类比\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\)；
\(a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1)\)；