前面发布的文章介绍了感知机，了解了感知机可以通过叠加层表示复杂的函数。遗憾的是，设定合适的、能符合预期的输入与输出的权重，是由人工进行的。从本章开始，将进入神经网络的学习，首先介绍激活函数，因为它是连接感知机和神经网络的桥梁。如果读者认知阅读了本专题知识，相信你必有收获。
感知机数学表达式的简化
前面我们介绍了用感知机接收两个输入信号的数学表示如下：
现在将上式改成更加简洁的形式，我们不妨想一下，上面的表达式(或者说是函数)输出y只有两种值0和1。因此，我们引入一个新函数将上式改写成下式：
式(2)中，输入信号的总和会被函数h(x)转换，转换后的值就是输出y。而式(3)所表示的h(x)在输入超过0时返回1，否则返回0。不难理解，式(1)和式(2)、(3)做的是一件事情。其实这和数学中的复合函数的意思一样(将b+w1x1+w2x2整体作为变量x，变量名可随便取)。
激活函数登场
我们刚引入的h(x)函数能将输入信号的总和转换为输出信号(只有0和1)，这种函数就是激活函数。正如“激活”二字，激活函数就是决定如何来激活输入信号的总和。读者意识可能有点模糊，我们对上面的式子再分析一下，将式(2)分为两个阶段，如下式，第一阶段是计算输入信号的加权和，第二阶段则用激活函数来转换这一加权和。
式(4)计算输入信号和偏置b的总和，记为a，接着用h()函数将a转换为输出y。这里我们用下图来形象地表示式(4)和式(5)。
０表示神经元，这里我们新增了一个输入信号为常数1的神经元(灰色),其权重为b，主要是把偏置b(控制神经元被激活的容易程度)添加至感知机中。把上图和上面的公式结合起来分析，节点a接收了输入信号的加权和，接着节点a被激活函数h()转换为节点y输出。注意节点和神经元是一样的意思。
试想什么样的函数的输出只有0和1两种值，毫无疑问，阶跃函数(在0处突变为1)的输出就是这样的。这里科普一下，一般而言，单层感知机也称为朴素感知机，即使用了阶跃函数作为激活函数的单层网络。多层感知机指神经网络，即使用了sigmoid函数等平滑函数作为激活函数的多层网络。
式(3)表明，输入一旦超过阀值，激活函数就切换输出，因此在感知机中的激活函数是“阶跃函数”。我们不难发问，如果感知机使用其他函数作为激活函数，结果会怎么样呢？答案是使用其他激活函数，那我们就进入了神经网络的世界了。下面我们详细介绍在神经网络中常用的几种激活函数。
阶跃函数
如式(3)，输入大于0，输出为1，否则输出为0。Python实现如下：
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
"""numpy轻易实现"""
def step_function(x):
return np.array(x>0,dtype=np.int) #true为1，false为0
"""绘图"""
x=np.arange(-3.0,3.0,0.1)
y=step_function(x)
plt.plot(x,y)
plt.ylim(-0.1,1.1)
plt.show()
sigmoid函数
在神经网络中，sigmoid函数常作为激活函数，其表达式如下：
式(6)中exp(-x)表示e-x次方的意思。实际上，感知机和神经网络的主要区别就在于激活函数的不同。Sigmoid函数作为激活函数，对信号进行转换，转换后的信号被传送给下一个神经元。Python实现如下：
"""sigmoid函数，除了函数不一样，绘图代码同上"""
def sigmoid(x):
return 1/(1+np.exp(-x)) #numpy的广播功能
比较
绘图代码如下：
# coding: utf-8
#阶跃函数和sigmoid函数比较
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
def sigmoid(x):
return 1 / (1 + np.exp(-x))
def step_function(x):
return np.array(x > 0, dtype=np.int)
x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y1 = sigmoid(x)
y2 = step_function(x)
plt.plot(x, y1)
plt.plot(x, y2, 'k--')
plt.ylim(-0.1, 1.1) #指定图中绘制的y轴的范围
plt.show()
不同点：
(1)sigmoid函数是一条平滑的曲线，即输出随输入发生连续的变化，阶跃函数以0为界，发生急剧性的变化。sigmoid函数的平滑性对神经网络的学习极有帮助。
(2)阶跃函数只能输出0或1(二元信号)，而sigmoid函数可输出连续的实数信号。
相同点：
(1)形状相似，输入小时，输出接近0；输入增大时，输出向1靠近。也就是说，当输入信号为重要信息时，阶跃函数和sigmoid函数都会输出较大的值；当输入信号为不重要的信息时，两者都输出较小的值。
(2)输出信号值均在0～1之间。
(3)两者都是非线性函数。阶跃函数是一条折线，sigmoid函数是一条曲线。实际上，神经网络的激活函数必须使用非线性函数，否则加深层的意义就没有了。对于线性函数而言，不管如何加深层，总存在与之等效的无隐藏层的神经网络。举个例子，激活函数h(x)=cx，把y(x)=h(h(x))的运算对应2层神经网络，显然y(x)=c·c·x=c2·x=ax(a= c2)。所以为了利用多层神经网络的优势，激活函数必须使用非线性函数。
Relu函数
Sigmoid函数的使用历史比较久，现在主要流行ReLU(Rectified Linear Unit)函数，如下：
式(7)表明，输入大于0，则直接输出该值；输入小于等于0时，输出0。Python实现也很简单，代码如下：
# 只给出函数，绘图代码同上
def relu(x):
return np.maximum(0, x) #小于0的为0，大于0的为其本身
本章剩余部分的内容一直采用sigmoid函数作为激活函数，在靠后的知识点中，才使用ReLU函数。
今天的内容就讲到这里了，希望读者好好回顾一下激活函数的产生及特点。下一篇知识点，将介绍使用numpy数组实现神经网络。欢迎读者订阅我的微信公众号“Python生态智联”，充分利用好零碎时间学AI