轮换对称式

一、什么是轮换对称式？

例如表达式\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)，如果我们将\(a、b、c\)轮番替换，比如\(a\longrightarrow b，b\longrightarrow c，c\longrightarrow a\)后，得到的不等式和替换前的是一样的。这样的代数式就称为轮换对称式。

二、轮换对称式的证明思路小结：主要用“分合”策略，

\(1^。\) 先说“分”：

分组方式为两两为一组或一个一组，常用基本不等式来解决，

• 如\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)，主要利用形如这样\(a^2+b^2\ge 2ab\)的三个同样结构形式解决。

• 再如\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c)\)，

主要利用形如这样\(\sqrt{a^2+b^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(a+b)}{2}\) 的三个同结构的形式解决。

• 再如锐角三角形中，证明\(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\) ，

主要利用形如\(sinA>cosB\)的三个同结构的形式解决。

\(2^。\) 再说“合”：

往往是把相同形式的三个代数式相加或相乘即可。

• \(a^2+b^2\ge 2ab\)；\(b^2+c^2\ge 2bc\)；\(c^2+a^2\ge 2ca\)，相加得到\(2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ac)\)，即就是\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)；

• \(\sqrt{a^2+b^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(a+b)}{2}\)；\(\sqrt{b^2+c^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(b+c)}{2}\) ；\(\sqrt{c^2+a^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(c+a)}{2}\) ，

相加得到\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c)\)；

• \(sinA>cosB\)；\(sinB>cosC\)；\(sinC>cosA\)，相加得到\(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\)；

三、典例剖析

例1 证明：\(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

分析：\(\cfrac{a^2}{b}+b\ge 2a(a=b时取等号)\)；

例2 证明：\(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy}\ge \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\)

分析：\(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}=\cfrac{1}{z}(\cfrac{x}{y}+\cfrac{x}{y})\ge \cfrac{2}{z}(x=y时取到等号)\)；