2017-2018 ACM-ICPC, Asia Tsukuba Regional Contest（部分题解）

2017-2018 ACM-ICPC 日本筑波区域赛

Problem A：Secret of Chocolate Poles
思路：简单dp。 $d[i][0/1]$ 表示高度为i时，顶层圆盘是0/1颜色时的方案数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll d[110][2];
int main()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    memset(d,0,sizeof d);
    d[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        d[i][0]+=d[i-1][1];
        d[i][1]+=d[i-1][0];
        if(i>=k)d[i][1]+=d[i-k][0];
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans+=d[i][1];
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

Problem B：Parallel Lines
思路：首先预处理出子集 $f[i][j]$ ，表示线段集合为 $i$ 且集合中有一条线段为 $j$ 时，这个子集里面的所有线段之间互相平行的对数。
然后状压枚举子集求答案。
理论上最高的复杂度为 $O(2^n*120^2+3^n)$ ，但实际上预处理的过程中有许多无效状态。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Point{int x,y;}p[20],tp[125];
Point operator-(Point A,Point B){return (Point){A.x-B.x,A.y-B.y};}
int operator^(Point A,Point B){return A.x*B.y-A.y*B.x;}
int f[1<<16][125];
int ans[1<<16];
int main()
{

    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
    int cnt=0;
    memset(f,-1,sizeof f);
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=i+1;j<n;j++)
    {
        cnt++;
        f[(1<<i)^(1<<j)][cnt]=0;
        tp[cnt]=p[i]-p[j];
    }
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)//预处理
    {
        int num=__builtin_popcount(i);
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(f[i][j]==-1)continue;
            for(int k=0;k<n;k++)
            {
                if((1<<k)&i)continue;
                for(int h=k+1;h<n;h++)
                {
                    if((1<<h)&i)continue;
                    if((p[k]-p[h])^tp[j])continue;
                    f[i^(1<<k)^(1<<h)][j]=max(f[i^(1<<k)^(1<<h)][j],f[i][j]+num/2);
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
    for(int j=1;j<=cnt;j++)f[i][0]=max(f[i][0],f[i][j]);
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
    {
        int S=((1<<n)-1)^i;
        for(int j=S;j;j=(j-1)&S)
        {
            ans[i^j]=max(ans[i^j],ans[i]+f[j][0]);
        }
    }
    cout<<ans[(1<<n)-1]<<endl;
    return 0;
}

Problem C：Medical Checkup
思路：推一下，可以发现一个人的h值影响着以后的人的检查时间，每一个人依次检查完设备的时间是一个等差数列，注意t=0的情况。（用二分可以避免）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=1e5+10;
typedef long long ll;
ll h[MAX];
int main()
{
    ll n,t;
    cin>>n>>t;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&h[i]);
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum+=h[i];
        ll d=max(h[i],h[i-1]);
        ll l=1,r=1e9+10,ans=1;
        while(r>=l)
        {
            ll m=(l+r)/2;
            if(sum+d*(m-1)>t)
            {
                r=m-1;
                ans=m;
            }
            else l=m+1;
        }
        h[i]=d;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

Problem E：Black or White

思路：DP。 $d[i]$ 表示前 $i$ 个格子已经涂好了的最小次数，那么 $d[i]=min(d[j]+cost[j+1,i]),(j+k>=i)$ 对于 $cost[j+1,i]$ 可以发现，若这个区间有 $x$ 个连续的颜色段，那么最少次数为 $\frac x2+1$
其中 $cost[j+1,i]$ 可以预处理出来，转移方程就需要用单调递增的队列来优化了。
$d[i]=min(d[j]+\frac{cost[i]-cost[j]}{2}+1)$ $2*d[i]=min(2*d[j]-cost[j]+cost[i]+2)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=5e5+10;
typedef long long ll;
char a[MAX],b[MAX];
int sum[MAX],d[MAX];
deque<pair<int,int> >p;
int main()
{
    memset(d,0,sizeof d);
    memset(sum,0,sizeof sum);
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+(b[i]!=b[i-1]);
    p.push_front({0,0});
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(!p.empty()&&p.back().first+k<i)p.pop_back();
        if(a[i]==b[i])d[i]=d[i-1];
        else d[i]=(p.back().second+sum[i])/2+1;
        if(sum[i+1]==sum[i])sum[i]--;
        while(!p.empty()&&p.front().second>=2*d[i]-sum[i])p.pop_front();
        p.push_front({i,2*d[i]-sum[i]});
    }
    cout<<d[n]<<endl;
    return 0;
}

Problem F：Pizza Delivery

思路：预处理出 $d[i]$ 和 $f[i]$ ， $d[i]$ 表示沿有向边的正方向从点1到 $i$ 点的最短距离， $f[i]$ 表示沿有向边的反方向点2到 $i$ 点的最短距离。
我们首先可以求出一个从点1到点2的所有最短路经过的边构成的DGA。
对于第 $i$ 条边，如果 $d[b]+f[a]+c<d[2]$ ，那么输出明显是"HAPPY"；否则，看这条边是否是上述DGA中的桥，如果是就是"SAD"，否则就不会改变这个DGA的连通性，也就不会改变最短路，输出"SOSO"。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=2e5+10;
typedef long long ll;
struct lenka{int x,y,z,index;}a[MAX];
struct EDG{int to,next,cost,dir;}ed[MAX];
int head[MAX],tot=0;
void add(int x,int y,int z,int dir)
{
    ed[tot].to=y;
    ed[tot].cost=z;
    ed[tot].dir=dir;
    ed[tot].next=head[x];
    head[x]=tot++;
}
priority_queue<pair<ll,ll>,vector<pair<ll,ll> >,greater<pair<ll,ll> > >p;
void BFS(ll *d,int st,int dir)      //求最短路
{
    d[st]=0;
    p.push({0,st});
    while(!p.empty())
    {
        pair<ll,ll>now=p.top();p.pop();
        if(now.first!=d[now.second])continue;
        for(int i=head[now.second];i!=-1;i=ed[i].next)
        {
            if(ed[i].dir!=dir)continue;
            int nex=ed[i].to;
            if(d[nex]==-1||d[nex]>now.first+ed[i].cost)
            {
                d[nex]=now.first+ed[i].cost;
                p.push({d[nex],nex});
            }
        }

    }
}
ll d[MAX],f[MAX];
int low[MAX],pre[MAX],v[MAX],dfs_clock=0;
vector<pair<int,int> >e[MAX];
void dfs(int k,int fa)              //找出DGA中的桥
{
    low[k]=pre[k]=++dfs_clock;
    for(int i=0;i<e[k].size();i++)
    {
        pair<int,int>nex=e[k][i];
        if(pre[nex.first]==0)
        {
            dfs(nex.first,k);
            low[k]=min(low[k],low[nex.first]);
            if(low[nex.first]>pre[k])v[nex.second]=1;
        }
        else if(nex.first!=fa)low[k]=min(low[k],pre[nex.first]);
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    memset(head,-1,sizeof head);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z,1);
        add(y,x,z,0);
        a[i]=(lenka){x,y,z,i};
    }
    memset(d,-1,sizeof d);
    memset(f,-1,sizeof f);
    BFS(d,1,1);
    BFS(f,2,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(d[a[i].x]==-1||f[a[i].y]==-1)continue;
        if(d[a[i].x]+f[a[i].y]+a[i].z==d[2])
        {
            e[a[i].x].push_back({a[i].y,a[i].index});
            e[a[i].y].push_back({a[i].x,a[i].index});
        }
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(d[a[i].y]!=-1&&f[a[i].x]!=-1&&d[a[i].y]+f[a[i].x]+a[i].z<d[2])puts("HAPPY");
        else if(v[a[i].index])puts("SAD");
        else puts("SOSO");
    }
    return 0;
}

Problem G：Rendezvous on a Tetrahedron

思路：在三维坐标系下计算很复杂，可以把这个正四面体各个面展开平铺在二维平面上并向四周扩展。此时只需找出终点在哪个正三角行内即可。
如下图
在这里插入图片描述
扩展开来发现这些三角形是有规律的，只要找出终点在哪一行的哪个三角形里，就可以求解。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=2e9+10;
const double PI=acos(-1.0);
typedef long long ll;
struct Point{double x,y;};
Point operator+(Point A,Point B){return (Point){A.x+B.x,A.y+B.y};}	  	  //向量A+B
Point operator-(Point A,Point B){return (Point){A.x-B.x,A.y-B.y};}	  	  //向量A-B
Point operator*(Point A,double B){return (Point){A.x*B,A.y*B};}   	  	  //向量A*B
Point operator/(Point A,double B){return (Point){A.x/B,A.y/B};}   	  	  //向量A/B
double abs(Point A){return sqrt(A.x*A.x+A.y*A.y);}                        //向量A的长度
double operator*(Point A,Point B){return A.x*B.x+A.y*B.y;}			  //向量A B的点积
double operator^(Point A,Point B){return A.x*B.y-A.y*B.x;}			  //向量A B的叉积
double cross(Point A,Point B){return A.x*B.y-A.y*B.x;}				  //向量A B的叉积
double dis(Point A,Point B){return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y));}//A B两点的距离
double dis2(Point A,Point B){return (A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y);}	  //A B两点的距离的平方
Point cal(Point st,Point A,Point B,int degree)
{
    double l=0,r=1;
    Point m;
    for(int i=1;i<=200;i++)
    {
        m=((B-A)*(l+r)/2)+A;
        //m.show();
        double angle=((B-st)*(m-st))/(abs(B-st)*abs(m-st));
        angle=acos(angle)*180/PI;
        if(angle-degree>1e-6)l=(l+r)/2;
        else r=(l+r)/2;
    }
    return m-st;
}
string solve(string edg,int degree,int L)
{
    Point v=cal({0,0},{1.0,-sqrt(3)},{2.0,0},degree);//求出速度矢量
    v=v/abs(v)*L;           //求出终点
    int y=0;
    while((y+1)*sqrt(3)/2+v.y<0)y++;//求出v在第几行的正三角形里面
    if(y%4==0||y%4==2)
    {
        Point A={0,-y*sqrt(3)/2};
        Point B={0.5,-(y+1)*sqrt(3)/2};
        for(int i=1;;i++)           //找出v是第几个正三角形
        {
            if(cross(A-v,B-v)<0)
            {
                if(y%4==0)
                {
                    if(i%4==1)return "ACD";
                    if(i%4==2)return "ABC";
                    if(i%4==3)return "BCD";
                    if(i%4==0)return "ABD";
                }
                else
                {
                    if(i%4==1)return "BCD";
                    if(i%4==2)return "ABD";
                    if(i%4==3)return "ACD";
                    if(i%4==0)return "ABC";
                }
            }
            if(i%2)A.x+=1;
            else B.x+=1;
        }
    }
    if(y%4==1||y%4==3)
    {
        Point A={0.5,-y*sqrt(3)/2};
        Point B={0,-(y+1)*sqrt(3)/2};
        for(int i=1;;i++)           //找出v是第几个正三角形
        {
            if(cross(A-v,B-v)<0)
            {
                if(y%4==1)
                {
                    if(i%4==1)return "BCD";
                    if(i%4==2)return "ABC";
                    if(i%4==3)return "ACD";
                    if(i%4==0)return "ABD";
                }
                else
                {
                    if(i%4==1)return "ACD";
                    if(i%4==2)return "ABD";
                    if(i%4==3)return "BCD";
                    if(i%4==0)return "ABC";
                }
            }
            if(i%2)B.x+=1;
            else A.x+=1;
        }
    }
}
map<char,char>ma;
int main()
{
    ma['A']='A';
    string edg;
    int degree,L;
    cin>>edg>>degree>>L;
    for(int i=0;i<=1;i++)ma['B'+i]=edg[i];//因为初始出发的方向不同，把点替换成相应的点
    ma['D']='B'+'C'+'D'-edg[0]-edg[1];
    string A=solve(edg,degree,L);
    for(int i=0;i<=2;i++)A[i]=ma[A[i]];
    cin>>edg>>degree>>L;
    for(int i=0;i<=1;i++)ma['B'+i]=edg[i];
    ma['D']='B'+'C'+'D'-edg[0]-edg[1];
    string B=solve(edg,degree,L);
    for(int i=0;i<=2;i++)B[i]=ma[B[i]];
    sort(A.begin(),A.end());
    sort(B.begin(),B.end());
    puts(A==B?"YES":"NO");
    return 0;
}

Problem I：Starting a Scenic Railroad Service

思路：第一种情况的答案就是对于所有线段，与其有公共区间的线段数量的最大值。
求与一条线段有公共区间的线段数量，对所有线段按左端点排序，二分求出所有左端点在该线段里的线段数量，然后再用主席树求出右端点在该线段里的线段数量，累加即是答案。
第二种情况用差分，然后累加和的最大值就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=2e5+10;
typedef long long ll;
vector<int>v;
struct lenka
{
    int L,R,sum;
}A[MAX*40];
int tot,root[MAX],a[MAX];
void init()
{
    tot=1;
    root[0]=0;
    A[0].L=A[0].R=A[0].sum=0;
}
void build(int x,int&rt,int l,int r)
{
    A[tot++]=A[rt];
    rt=tot-1;
    A[rt].sum++;
    if(l==r)return;
    if(x<=(l+r)/2)build(x,A[rt].L,l,(l+r)/2);
    else build(x,A[rt].R,(l+r)/2+1,r);
}
int ask(int l,int r,int x,int y,int k)
{
    if(l==r)return A[y].sum-A[x].sum;
    if(k>(l+r)/2)return ask((l+r)/2+1,r,A[x].R,A[y].R,k);
    return A[A[y].R].sum-A[A[x].R].sum+ask(l,(l+r)/2,A[x].L,A[y].L,k);
}
int getid(int x){return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;}
struct Point{int x,y;}p[MAX],B[MAX];
int cmpx(const Point&x,const Point& y)
{
    if(x.x==y.x)return x.y<y.y;
    return x.x<y.x;
}
int n;
int f(int x)
{
    int l=1,r=n,ans=0;
    while(r>=l)
    {
        int m=(l+r)/2;
        if(B[m].x<x)
        {
            l=m+1;
            ans=m;
        }
        else r=m-1;
    }
    return ans;
}
int sum[MAX];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
        sum[p[i].x]++;
        sum[p[i].y]--;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)B[i]=p[i];
    sort(B+1,B+n+1,cmpx);
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++)v.push_back(B[i].y);
    sort(v.begin(),v.end());
    v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        root[i]=root[i-1];
        build(getid(B[i].y),root[i],1,n);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int R=f(p[i].y);
        int L=f(p[i].x);
        ans=max(ans,max(0,R-L)+ask(1,n,root[0],root[L],getid(p[i].x+1)));
    }
    for(int i=1;i<=100000;i++)sum[i]+=sum[i-1];
    printf("%d %d\n",ans,*max_element(sum+1,sum+100001));
    return 0;
}

2017-2018 ACM-ICPC, Asia Tsukuba Regional Contest（部分题解）

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