[数组的含义]
1、在维护和查询区间和的算法中，h[x]中储存的是[x，x-lowbit(x)+1]中每个数的和 .
2、在求区间最值的算法中，h[x]储存的是[x，x-lowbit(x)+1]中每个数的最大值。
求区间最值的算法中还有一个a[i]数组，表示第i个数是多少,也就是原数组。
[单点修改后的更新]
1、在维护区间和的算法中，是这样维护单点修改的
void update(int i,int v){
//区间和更新
while(i<=n){
h[i]+=v;
i+=lowbit(i) ;
}
}2、在来看维护区间最大值的算法，我们先看一整段区间[1，n]都需要初始化的情况。（即 h[] 数组都为0，现在需要用 a[] 数组更新 h[] 数组）
void updata(int i, int val)
{
while (i <= n)
{
h[i] = max(h[i], val);
i += lowbit(i);
}
}
可以发现：对于x，可以转移到x的只有，（k满足2^k < lowbit(x)且2^(k+1)>=lowbit(x)）
举例:
若 x = 1010000
= 1001000 + lowbit(1001000) = 1001000 + 1000 = 1001000 + 2^3
= 1001100 + lowbit(1001100) = 1001100 + 100 = 1001100 + 2^2
= 1001110 + lowbit(1001110) = 1001110 + 10 = 1001110 + 2^1
= 1001111 + lowbit(1001111) = 1001111 + 1 = 1001111 + 2^0
所以对于每一个h[i]，在保证h[1...i-1]都正确的前提下，要重新计算h[i]值的时间复杂度是O（logn），具体方法如下：
h[x] = a[x];
lx = lowbit(x);
for (i=1; i<lx; i<<=1)
h[x] = max(h[x], h[x-i]);
x += lowbit(x);
这样，我们就可以得到一个和树状数组维护区间合算法很像的算法
void updata(int x)
{
int lx, i;
while (x <= n)
{
h[x] = a[x];
lx = lowbit(x);
for (i=1; i<lx; i<<=1)
h[x] = max(h[x], h[x-i]);
x += lowbit(x);
}
}
这个算法的时间复杂度是O((logn)^2)，所以现在就可以在O（(logn)^2）的时间内完成最值的区间维护了。
[区间查询]
1、树状数组求区间合的算法是这样子的：
int query(int i)
{
int ans = 0;
while (i > 0)
{
ans += h[i];
i -= lowbit(i);
}
return ans;
}
2、树状数组求区间最大值：
直接照搬求区间合的方法显然是不行的。
因为区间合中，要查询[x,y]的区间合，是求出[1,x-1]的合与[1,y]的合，然后相减就得出了[x,y]区间的合。
而区间最值是没有这个性质的，所以只能够换一个思路。
设query(x,y)，表示[x，y]区间的最大值
因为h[y]表示的是[y,y-lowbit(y)+1]的最大值。
所以，可以这样求解：
若y-lowbit(y) > x ，则query(x,y) = max( h[y] , query(x, y-lowbit(y)) );
若y-lowbit(y) <=x，则query(x,y) = max( a[y] , query(x, y-1);
这个递归求解是可以求出解的，且可以证明这样求解的时间复杂度是O（(logn)^2）
int query(int x, int y)
{
int ans = 0;
while (y >= x)
{
ans = max(a[y], ans);
y --;
for (; y-lowbit(y) >= x; y -= lowbit(y))
ans = max(h[y], ans);
}
return ans;
}
时间复杂度的证明：（换成二进制来看）
因为y经过Logn次变换以后，其与x不同的最高位至少下降了1位，所以最多进行(logn)^2次变换
举例：
y = 1010000
x = 1000001
1010000
=> 1001111 => 1001110 =>1001100 =>1001000
=>1000111 => 1000110 => 1000100
=> 1000011 = > 1000010
=>1000001
=>1000000 < 1000001
模板题: I Hate It HDU - 1754
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <set>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#define Swap(a,b) a ^= b ^= a ^= b
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std ;
typedef long long LL;
LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;}
LL lcm(LL a,LL b){return a/gcd(a,b)*b;}
const int MAX = 3e5;
const int inf = 0xffffff;
const LL mod = 1e9+7 ;
int minn = 0x3f3f3f3f ;
int maxx = -0x3f3f3f3f;
// ----+-+------------------------
int n ;
int a[MAX] ;
int c[MAX] ;
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void update(int i,int v){
//区间和更新
while(i<=n){
c[i]+=v;
i+=lowbit(i) ;
}
}
void Update(int x){
//区间最值更新
int lx ,i ;
while(x<=n){
c[x] = a[x];
lx = lowbit(x) ;
for(i = 1 ;i<lx;i<<=1){
c[x] = max(c[x],c[x-i]);
}
x+=lowbit(x);
}
}
int query(int x ,int y){
// 区间最大
int ans = 0 ;
while(y>=x){
ans = max(a[y],ans) ;
y-- ;
for(; y - lowbit(y)>=x ;y-=lowbit(y)){
ans = max(c[y],ans) ;
}
}
return ans ;
}
int sum(int i){
//区间和
int ans = 0 ;
while(i){
ans+=c[i] ;
i-=lowbit(i) ;
}
return ans ;
}
int main()
{
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL),cout.tie(NULL);
int m ;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
for(int i = 1 ;i<=n;i++){
c[i] = 0 ;
}
for(int i = 1; i<=n ;i++){
scanf("%d",&a[i]);
Update(i) ;
}
// ---------------------------
while(m--){
char op[5] ;
int x ,y ;
int ans ;
scanf("%s",op);
if(op[0]=='Q'){ // 查询
scanf("%d%d",&x,&y);
ans = query(x,y) ;
printf("%d\n",ans);
}
else{
scanf("%d%d",&x,&y);
a[x] = y ;
Update(x);
}
}
}
return 0;
}