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我们假设计算机运行一行基础代码需要执行一次运算。
int aFunc(void) {
printf("Hello, World!\n"); // 需要执行 1 次
return 0; // 需要执行 1 次 }
那么上面这个方法需要执行 2 次运算
int aFunc(int n) {
for(int i = 0; i<n; i++) { // 需要执行 (n + 1) 次 printf("Hello, World!\n"); // 需要执行 n 次 } return 0; // 需要执行 1 次 }
这个方法需要 (n + 1 + n + 1) = 2n + 2 次运算。
我们把 算法需要执行的运算次数 用 输入大小n 的函数 表示,即 T(n) 。
此时为了 估算算法需要的运行时间 和 简化算法分析,我们引入时间复杂度的概念。
1-如何把运算次数函数,变为时间复杂度
定义:存在常数 c 和函数 f(N),使得当 N >= c 时 T(N) <= f(N),表示为 T(n) = O(f(n)) 。
如图:
![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1552449/201902/1552449-20190212180214949-2076228276.png)
当 N >= 2 的时候,f(n) = n^2 总是大于 T(n) = n + 2 的,于是我们说 f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的,也说 f(n) 是 T(n) 的上界,可以表示为 T(n) = O(f(n))。
因为f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的,即T(n) = O(f(n)),所以我们可以用 f(n) 的增长速度来度量 T(n) 的增长速度,所以我们说这个算法的时间复杂度是 O(f(n))。
算法的时间复杂度,用来度量算法的运行时间,记作: T(n) = O(f(n))。它表示随着 输入大小n 的增大,算法执行需要的时间的增长速度可以用 f(n) 来描述。
显然如果 T(n) = n^2,那么 T(n) = O(n^2),T(n) = O(n^3),T(n) = O(n^4) 都是成立的,但是因为第一个 f(n) 的增长速度与 T(n) 是最接近的,所以第一个是最好的选择,所以我们说这个算法的复杂度是 O(n^2) 。
那么当我们拿到算法的执行次数函数 T(n) 之后怎么得到算法的时间复杂度呢?
- 我们知道常数项对函数的增长速度影响并不大,所以当 T(n) = c,c 为一个常数的时候,我们说这个算法的时间复杂度为 O(1);如果 T(n) 不等于一个常数项时,直接将常数项省略。
比如
第一个 Hello, World 的例子中 T(n) = 2,所以我们说那个函数(算法)的时间复杂度为 O(1)。
T(n) = n + 29,此时时间复杂度为 O(n)。
- 我们知道高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。n^3 的增长速度是远超 n^2 的,同时 n^2 的增长速度是远超 n 的。 同时因为要求的精度不高,所以我们直接忽略低此项。
比如
T(n) = n^3 + n^2 + 29,此时时间复杂度为 O(n^3)。
- 因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的,所以我们忽略与最高阶相乘的常数。
比如
T(n) = 3n^3,此时时间复杂度为 O(n^3)。
综合起来:如果一个算法的执行次数是 T(n),那么只保留最高次项,同时忽略最高项的系数后得到函数 f(n),此时算法的时间复杂度就是 O(f(n))。为了方便描述,下文称此为 大O推导法。
2-如何计算运算次数函数
由此可见,由执行次数 T(n) 得到时间复杂度并不困难,很多时候困难的是从算法通过分析和数学运算得到 T(n)。对此,提供下列四个便利的法则,这些法则都是可以简单推导出来的,总结出来以便提高效率。
- 对于一个循环,假设循环体的时间复杂度为 O(n),循环次数为 m,则这个
循环的时间复杂度为 O(n×m)。
void aFunc(int n) {
for(int i = 0; i < n; i++) { // 循环次数为 n printf("Hello, World!\n"); // 循环体时间复杂度为 O(1) } }
此时时间复杂度为 O(n × 1),即 O(n)。
- 对于多个循环,假设循环体的时间复杂度为 O(n),各个循环的循环次数分别是a, b, c...,则这个循环的时间复杂度为 O(n×a×b×c...)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。注意:该方法只适用于,内外两层的循环互不干扰的情况下!!!如果执行变量n在内/外循环中有关联变化,则不适用,需单独讨论。详见 3-练习题的 第一题。
void aFunc(int n) {
for(int i = 0; i < n; i++) { // 循环次数为 n for(int j = 0; j < n; j++) { // 循环次数为 n printf("Hello, World!\n"); // 循环体时间复杂度为 O(1) } } }
此时时间复杂度为 O(n × n × 1),即 O(n^2)。
- 对于顺序执行的语句或者算法,总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。
void aFunc(int n) { // 第一部分时间复杂度为 O(n^2) for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { printf("Hello, World!\n"); } } // 第二部分时间复杂度为 O(n) for(int j = 0; j < n; j++) { printf("Hello, World!\n"); } }
此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n)),即 O(n^2)。
- 对于条件判断语句,总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度。
void aFunc(int n) { if (n >= 0) { // 第一条路径时间复杂度为 O(n^2) for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { printf("输入数据大于等于零\n"); } } } else { // 第二条路径时间复杂度为 O(n) for(int j = 0; j < n; j++) { printf("输入数据小于零\n"); } } }
此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n)),即 O(n^2)。
时间复杂度分析的基本策略是:从内向外分析,从最深层开始分析。如果遇到函数调用,要深入函数进行分析。
3-练习题
最后,我们来练习一下
一. 基础题
求该方法的时间复杂度
void aFunc(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i; j < n; j++) {
printf("Hello World\n");
}
}
}
参考答案:
当 i = 0 时,内循环执行 n 次运算,当 i = 1 时,内循环执行 n - 1 次运算……当 i = n - 1 时,内循环执行 1 次运算。
所以,执行次数 T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。
根据上文说的 大O推导法 可以知道,此时时间复杂度为 O(n^2)。
注意:为何该题目不适合2.2(内外层循环次数相乘)的方法?因为该题中,内外两层的循环因子有关联!!!
内层的循环因子,会根据外层的因子变化。。。因此需要单独分析,不能简单相乘。
二. 进阶题
求该方法的时间复杂度
void aFunc(int n) {
for (int i = 2; i < n; i++) {
i *= 2;
printf("%i\n", i);
}
}
参考答案:
假设循环次数为 t,则循环条件满足 2^t < n。
可以得出,执行次数t = log(2)(n),即 T(n) = log(2)(n),可见时间复杂度为 O(log(2)(n)),即 O(log n)。
三. 再次进阶
求该方法的时间复杂度
long aFunc(int n) {
if (n <= 1) {
return 1;
} else { return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2); } }
参考答案:
(我的答案)如下图:总共这颗执行树会有多少层呢?因为每层最右边的那个,是触摸最远的那个。也就是说,每一层都比上一层最右侧减去2,能减去的次数,其实就是(n-1)/ 2,约等于n/2。能减去的次数,就是执行树的层数。
因此,最后的执行总次数是:2(0)+2(1)+2(2)+...+2(n/2)。
时间复杂度只考虑最大的指数O(2(n/2)),并忽略指数的项属,答案就是O(2(n))
(原始答案)显然运行次数,T(0) = T(1) = 1,同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1,这里的 1 是其中的加法算一次执行。
显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列,通过归纳证明法可以证明,当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n,同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。
所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n),简化后为 O(2^n)。
可见这个方法所需的运行时间是以指数的速度增长的。如果大家感兴趣,可以试下分别用 1,10,100 的输入大小来测试下算法的运行时间,相信大家会感受到时间复杂度的无穷魅力。
作者:raymondCaptain
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