前言
三角函数求最值的三种常见考向整理归纳，重点说明新考向的解法思路。
一、预备知识
三角变换，
二次型，配方法
解三角不等式
二、已有的考向
- 1、正弦型函数求最值
逆用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，辅助角公式，转化为正弦型函数；
解析：函数\(f(x)=2sinx\cdot cosx+2\sqrt{3}\cdot cos^2x-\sqrt{3}+1\)
\(=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+1\)
若\(x\in [-\cfrac{\pi}{3}，\cfrac{\pi}{4}]\)，则可得
\(-\cfrac{2\pi}{3}\leq 2x\leq \cfrac{\pi}{2}\)，则\(-\cfrac{\pi}{3}\leq 2x+\cfrac{\pi}{3}\leq \cfrac{5\pi}{6}\)，
故当\(2x+\cfrac{\pi}{3}=-\cfrac{\pi}{3}\)，即\(x=-\cfrac{\pi}{3}\)时，\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{\pi}{3})=2\times (-\cfrac{\sqrt{3}}{2})+1=-\sqrt{3}+1\)；
故当\(2x+\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{2}\)，即\(x=\cfrac{\pi}{12}\)时，\(f(x)_{max}=f(\cfrac{\pi}{12})=2\times 1+1=3\)；
- 2、二次型函数求最值
利用配方法转化为以\(sinx\)或\(cosx\)为元的二次型函数，
函数\(f(x)=sin^2x+\sqrt{3}cosx-\cfrac{3}{4}(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}])\)的最大值为_______。
分析：由于\(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)，则\(cosx\in [0，1]\)，
令\(cosx=t\in [0，1]\)，\(f(x)=1-cos^2x+\sqrt{3}cosx-\cfrac{3}{4}=1-t^2+\sqrt{3}t-\cfrac{3}{4}=-(t-\cfrac{\sqrt{3}}{2})^2+1=g(t)\)，
故当\(t=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)时，\(g(t)_{max}=f(x)_{max}=1\)。
三、新考向--利用导数求最值
求\(f(x)=2sinx+sin2x\)的最小值。【最值和导数相结合的题型】
法1：\(f'(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos^2x-1)\)
\(=4cos^2x+2cosx-2=(2cosx+2)(2cosx-1)\)
\(=4(cosx+1)(cosx-\cfrac{1}{2})\)
注意到\(cosx+1\ge 0\)恒成立，故
令\(f'(x)>0\)得到，\(cosx>\cfrac{1}{2}\)，令\(f'(x)<0\)得到，\(cosx<\cfrac{1}{2}\)，
则\(x\in [2k\pi-\cfrac{5\pi}{3}，2k\pi-\cfrac{\pi}{3}](k\in Z)\)时，函数\(f(x)\)单调递减；
\(x\in [2k\pi-\cfrac{\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}](k\in Z)\)时，函数\(f(x)\)单调递增；
故当\(x=2k\pi-\cfrac{\pi}{3}(k\in Z)\)时，\(f(x)_{min}=f(2k\pi-\cfrac{\pi}{3})=-\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\)。
已知函数\(f(x)=cosx-\cfrac{1}{2}sin2x\)，则\(f(x)\)的最大值为_______________。
解析：\(f'(x)=-sinx-\cfrac{1}{2}\cdot 2\cdot cos2x\)
\(=-sinx-cos2x\)
\(=-sinx-(1-2sin^2x)\)
\(=2sin^2x-sinx-1=(sinx-1)(2sinx+1)\)，
由于\(-1\leq sinx\leq 1\)，故\(sinx-1\leq 0\)，
则令\(f'(x)>0\)，即\((sinx-1)(2sinx+1)> 0\)，即\(2sinx+1<0\)，
即\(sinx<-\cfrac{1}{2}\)，解得\(2k\pi+\cfrac{7\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{11\pi}{6}(k\in Z)\)，
令\(f'(x)<0\)，即\((sinx-1)(2sinx+1)<0\)，即\(2sinx+1>0\)，
即\(sinx>-\cfrac{1}{2}\)，解得\(2k\pi-\cfrac{7\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{7\pi}{6}(k\in Z)\)，
即单调递减区间为\([2k\pi-\cfrac{7\pi}{6}，2k\pi+\cfrac{7\pi}{6}](k\in Z)\)，
单调递增区间为\([2k\pi+\cfrac{7\pi}{6}，2k\pi+\cfrac{11\pi}{6}](k\in Z)\)，
故当\(x=2k\pi+\cfrac{11\pi}{6}\)时，\(f(x)\)取得最大值；
\(f(x)_{max}=cos(2k\pi+\cfrac{11\pi}{6})-\cfrac{1}{2}sin2(2k\pi+\cfrac{11\pi}{6})\)
\(=cos(2\pi-\cfrac{11\pi}{6})-\cfrac{1}{2}sin(4\pi-\cfrac{\pi}{3})\)
\(=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\)。