命题与定理
命题1 有限群是循环群当且仅当中有一个元素的阶等于群的阶
命题2 群的运算为乘法，设中元素的阶为则对于正整数有
命题3 群的运算为乘法，设中元素的阶为，则有
命题4 群中，若的阶分别为且则的阶等于
命题5 设是有限群，则中有一个元素的阶是其他元素的阶的倍数
定理1 设是有限群，如果对于任给的正整数方程在中的解的个数不超过，那么是循环群
定理2 有限域的所有非零元组成的集合对于乘法成为一个群，且是循环群
定理3 设是大于1的整数，则为循环群当且仅当为下列情形之一：其中是奇素数，
命题6 设是到的一个群同构映射，则
(1)其中是的单位元
(2)
(3)a与或者同为无限阶元素，或者它们的阶相同
定理4 (1)任意一个无限循环群都与同构
(2)对于任意一个阶循环群都与同构
(3)1阶循环群都与加法群同构
定理5 设都是大于1的整数，则是循环群当且仅当与互素
例题
1.4.1证明定理：若是正整数，是与互素的整数，则其中是函数，即是与互素的不超过的正整数的个数。
特别的，若是素数，则得到小定理：
1.4.3群没有非平凡子群的充分必要条件是或是素数阶循环群
1.4.6如果有限群有唯一的极大子群，则是素数幂阶循环群
1.4.7举一个无限群的例子，它的任意阶数不为1的子群都具有有限指数
1.4.8设是一个素数，则对于复数的乘法作成群。试证的任意真子群都是有限阶的循环群。
1.4.9若群只有有限多个子群，则是有限群
1.4.10有理数加法群不是循环群，但它的任意有限生成的子群都是循环群。
1.4.11在阶循环群中，对的每一个正因子阶为的元恰好有个，其中是与互素且不超过的正整数的个数，由此证明等式
1.4.12设是一个阶有限群，若对的每一个因子，中之多只有一个阶子群，则是循环群。
1.4.13群是循环群当且仅当的任一子群形如其中是非负整数。
参考文献
冯克勤, 章璞. 近世代数三百题[M]. 高等教育出版社, 2010.