普通正态分布如何转换到标准正态分布

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1.普通正态分布转换标准正态分布公式

我们知道正态分布是由两个参数 $\mu$与 $\sigma$确定的。对于任意一个服从 $N(\mu, \sigma^2)$分布的随机变量 $X$，经过下面的变换以后都可以转化为 $\mu=0, \sigma=1$的标准正态分布(standard normal distribution)。转换公式为:
$z = \frac{X-\mu}{\sigma}$

2.证明

概率统计的教科书上一般直接给出这个结论，并没有给出相应的证明。下面我们来看看这个结论的推理过程。由于犯懒懒得编辑公式，直接贴截图，证明过程来自参考文献1。

3.几个应用的例子

3.1 假设公共汽车门的高度按成年男性碰头机会小于1%来设计。又假设成年男性的身高服从正态分布 $X \sim N(170, 6^2)$，求问车门的高度 $h$为多少?

假设身高这一随机变量为 $X$，那么要求的问题为:
$P(x > h) = 0.01$
即
$1 - P(x \le h) = 0.01$
$P(x \le h) = 0.99$

因为 $X \sim N(170, 6^2)$, 所以 $\frac{h - 170}{6} \sim N(0, 1)$。
通过查标准正态分布表可知, $P(z \le 2.33) = 0.99$
因此h = 170 + 6 * 2.33 = 183.98cm

3.2 现在有一个 $\mu = 10$和 $\sigma = 2$的正态随机变量，求x在10与14之间的概率是多少？
当x=10时，z = 0。当x=14时，z = (14-10)/2 = 2。于是，x在10与14之间的概率等价于标准正态分布中0与2之间的概率。
$P(0 \le z \le 2) = P(z \le 2) - P(z \le 0) = 0.4772$

参考文献：
1.https://www.zhihu.com/question/30121927