皮克定理和任意多边形的面积公式

1. 叉乘：

若 $\vec{a}=(x_1,y_1)$ ， $\vec{b}=(x_2,y_2)$ ，则 $\vec{a}\times \vec{b}=(x_1*y_2~-~x_2*y_1)\vec{z}$

而 $|\vec{a}\times\vec{b}|=|x_1*y_2~-~x_2*y_1|=|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin(\theta )$

则 $S_{\bigtriangleup }=1/2~*~|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin(\theta )=1/2~*~|x_1*y_2~-~x_2*y_1|$

$S_{\bigtriangleup }$ 为三角形面积，建议百度叉乘的几何意义

2. 皮克公式：

$\dpi{120} \dpi{150} S_{ polygon }=n~+~s/2~-1$

即：多边形面积S = 多边形内整数点的个数 n + 多边形边上整数点的个数 / 2 - 1

3. 线段上整数点的个数：

GCD(线段在X轴的投影长，线段在Y轴的投影长) + 1

4. 任意多边形的面积

上文给出了三角形的公式，对于只给出了顶点的情况下，我们不能直接利用皮克公式，而可以将n边形化成 n-2 个三角形

$S_{polygon}=S_{\bigtriangleup OAB}+S_{\bigtriangleup OBC}+S_{\bigtriangleup OCD}+S_{\bigtriangleup ODE}$ ，依次用叉乘算出每个三角形的面积，求和就得到了多边形的面积，计算 $S_{\bigtriangleup OBC}$ 时用到了 $S_{\bigtriangleup OAB}$ 的边向量 $\underset{OB}{\rightarrow}$ ，于是化简可以得到多边形的面积公式(点的坐标必须是顺时针或逆时针依次给出的)：

$S_{polygon}=\frac{1}{2}|\sum_{1}^{n-1}(x[i]*y[i+1]-x[i+1]*y[i])~+~x[n]*y[1]-x[1]*y[n]|$

读者可能会想如果点的坐标不是按顺序依次给出的又该怎么办呢？

（1）所给多边形为凹包：

如果点不是按照顺序依次给出的，那么所构成的多边形一定不唯一（画画就明了），所以点一定是按顺序给出的

（2）所给多边形为凸包：

我们可以先将点按极角排序，就可套用公式了，（凹包的点极角排序后多边形的顶点不是依次有序的）

ps：极角排序

ps：线性代数知识解释公式来历

5. 应用：

（1）HDU 1705 - Count the grid

题意：

给你三个点，求三个点组成的三角形内有多少个整数点，不算边上的，也就是求皮克公式中的n

代码：

// n = S - s/2 + 1
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long double ld;
int main()
{
    int x1,y1,x2,y2,x3,y3;
    while(cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3)
    {
        if(x1==0&&y1==0&&x2==0&&y2==0&&x3==0&&y3==0)
            break;
        int a1 = x2-x1,b1 = y2-y1;
        int a2 = x3-x1,b2 = y3-y1; 
        int S = abs(a1*b2-b1*a2)/2;  //要加绝对值
        int s = __gcd(abs(x1-x2),abs(y1-y2))+1;
        s += __gcd(abs(x3-x2),abs(y3-y2))+1;
        s += __gcd(abs(x1-x3),abs(y1-y3))+1-3;//重复计算了3个顶点
        cout<<S - s/2 + 1<<endl;
    }
    return 0;
}

（2）2018年牛客多校算法寒假训练营练习比赛

代码：

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
int main()
{
    int x1,y1,x2,y2,x3,y3;
    while(cin>>x1)
    {
        if(x1==-1) break;
        cin>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3;
        int a1 = x2-x1,b1 = y2-y1;
        int a2 = x3-x1,b2 = y3-y1;
        double S = abs((double)a1*b2-b1*a2)/2.0;
        int ab = __gcd(abs(x1-x2),abs(y1-y2))+1;
        int bc= __gcd(abs(x3-x2),abs(y3-y2))+1;
        int ac= __gcd(abs(x1-x3),abs(y1-y3))+1;
        int s = ab + bc + ac - 3;
        printf("%.1f ",S);
        printf("%lld %d %d %d\n",(ll)S-s/2+1,ab-2,bc-2,ac-2);
    }
    return 0;
}

（3） HDU 2036 多边形的面积

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
struct point
{
    int x,y;
}p[150];
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n&&n)
    {
        for(int i=0;i<n;++i)
            cin>>p[i].x>>p[i].y;
        int ans = p[n-1].x*p[0].y - p[n-1].y*p[0].x;
        for(int i=0;i<n-1;++i)
            ans += p[i].x*p[i+1].y - p[i].y*p[i+1].x;
        printf("%.1f\n",abs(ans)*1.0/2.0);
    }
    return 0;
}

（4）牛客网-简单多边形

题意：

判断顶点坐标是按什么顺序给出的

题解：

根据叉乘的几何意义，顺时针计算，结果为负，逆时针结果为正

代码：

#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
int x[110];
int y[110];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>x[i]>>y[i];
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        ans += x[i]*y[i+1] - x[i+1]*y[i];
    }
    ans += x[n]*y[1]-x[1]*y[n];
    if(ans>0) cout<<"counterclockwise";
    else cout<<"clockwise";
    return 0;
}