求解线性同余方程

定理1：对于方程 a * x + b * y = c，该方程等价于 a * x ≡ c (mod b)，有整数解的充分必要条件是：
c % GCD(a,b) = 0。

根据定理1，对于方程 a * x + b * y = c，我们可以先用扩展欧几里德算法求出一组Xo、Yo，也就是 a * Xo + b * Yo = GCD(a,b)，然后两边同时除以 GCD(a,b) ，再乘以c。这样就得到了方程
a * Xo * c/GCD(a,b) + b * Yo * c/GCD(a,b) = c，我们也就找到了方程的一个解。

定理2：若 GCD(a,b) = 1，且Xo、Yo为 a * x + b * y = c的一组解，则该方程的任一解可表示为：
x = Xo + b * t，y = Yo - a * t，且对任一整数 t 皆成立。

根据定理2，可以求出方程的所有解。但实际问题中，我们往往被要求去求最小整数解，也就是求一个特解x，t = b/GCD(a,b)，x = (x%t + t)%t。

代码实现如下：

int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if( !b )  // b==0
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	
	int ret = extended_gcd(b, a%b, x, y);
	int tmp = x;
	x = y;
	y = tmp - a/b*y;
	return ret;
}


//用扩展欧几里得算法解线性方程 ax + by = c;
bool linearEquation( int a, int b, int c, int &x, int &y)
{
	int d = extended_gcd(a,b,x,y);
	if(c%d) return false;
	int k = c/d;
	X *= k;  // + t*b;
	y *=k;   // - t*a;
    //求的只是其中一个解
	return true;
}

提示1：设a, b, c为任意整数。若方程 ax+by=c 的一组整数解为 (Xo, Yo)，则它的任意整数解都可以写成 ( Xo+kb’ , Yo-kb’ )，其中 a’ = a/gcd(a,b)，b’ = b/gcd(a,b)，k取任意整数。

提示2：设 a,b,c 为任意整数，g = gcd(a,b)，方程ax+by=g 的一组解是(Xo,Yo)，则当c是g的倍数时 ax+by=c 的一组解是(Xo c/g, Yo c/g)，当c不是g的倍数时无整数解。