KMP之nextval推导

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KMP字符串匹配算法的本质呢就是分析子串自身的特点来优化算法。

第一个特点 前缀与后缀

来自《算法导论》的一个实例

图a
文本 T ， 与子串 P，已经匹配成功的q=5个字符，现在第六个字符匹配失败，要将子串P向前移动即 s 变大。s+1 的移动 显然失败，s+2的移动如下

图b
能成功匹配到k=3个字符，现在分析这两次匹配到的内容

图c
可以看出Pk 与 Pq的后三个字符相匹配， 而Pk其实就是Pq的前三个字符，
换句话说就是 Pq的 前三个字符与后三个字符相同。
‘aba’既是Pq的前缀也是Pq的后缀, 符合这种特征的还有’a’ 其中’aba’是最长的
我们用$\pi$[q]来表示Pq中前缀与后缀相同的最长长度
$\pi$称之为前缀函数
完整的P的前缀函数如下

i	1	2	3	4	5	6	7
P[i]	a	b	a	b	a	c	a
$\pi$	0	0	1	2	3	0	1

使用这个函数我们可以得到KMP算法中的重要数组next
next数组的意义为：为当第子串中i个字符匹配失败时，要从子串的第next[i]个字符继续比较。
分析上一个例子

• 在第 6 个字符第一次匹配失败 i= 6
• 我们现在知道 P 的第 5 个字符的 $\pi[i-1]$ = 3
• 所以我们应该向前移动 $q-\pi[i-1]$ = 2 个字符
• 即与第 $\pi[i-1]+1 = 3$ 比较

得

$$next[n] = \begin{cases} 0, & \text{$n = 1$} \\ \pi[n-1]+1, & \text{$n \gt 1$} \end{cases}$$

i	1	2	3	4	5	6	7
P[i]	a	b	a	b	a	c	a
$\pi$	0	0	1	2	3	0	1
next[i]	0	1	1	2	3	4	1

第二个特点 nextval

如果用上例的P与下面一个文本匹配
T = a b a b c a a a..
p = a b a b a c a

• 第5个字符匹配失’a’，按照next函数 应与第 next[5] = 3个字符比较
• 发现p[3] = ‘a’ , 仍然失配，继续next[3] = 1
• 再一次p[1] = ‘a’ 最终 next[1] = 0

上面的过程发现连续的’a’造成这几步无用的操作，其实这一点我们可以提前预见到并避免。

当我们在p[q] 上失配时我们下一个匹配的是 p[next[q]] , 如果出现上述情况即

p[ q ] == p[ next[ q ] ] 则匹配一定失败 所以会直接匹配 p[next[ next[q] ]]
于是我们制定一个新的数组nextval
则

$$nextval[n] = \begin{cases} 0, & \text{$n = 0$} \\ nextval[ next[n] ], & \text{$P[n] = P[ next[n] ]$} \\ next[n], & \text{$P[n] \neq P[ next[n] ]$} \end{cases}$$

i	1	2	3	4	5	6	7
P[i]	a	b	a	b	a	c	a
$\pi$	0	0	1	2	3	0	1
next[i]	0	1	1	2	3	4	1
nextval[i]	0	1	0	1	0	4	0