线性代数学习心得（一）矩阵乘法

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线性代数属于应用数学，应用数学的特点就是应用的目的往往是很明确的。线性代数的目的就是研究向量空间，线性变换等问题。这些问题在很多领域都被广泛应用，特别是在计算机领域。图形学、游戏开发、VR等等。总之，线性代数是计算机学者的必经之路。

此博客是我在学习MIT的线性代数课程中所学到的心得体会。虽然之前我已经对线性代数有了一些浅显的认识。但是这远远不够，对其新的认识我将会以博客的方式记录下来。

那么，我又开始了。

1、向量以及向量乘矩阵

1.1向量

啥叫向量呢？物理中，我们会定义成有方向有有大小量。但是在数学的抽象思维中，向量是可以抽象成一个高维度的点。也可以说向量是一个向量空间的元素。但是这又涉及到啥是向量空间，在这里不多说，以后会对其详细探究。总之现在，你尽可以想像一个n维向量是一个n元的有序序列，也可以是n维空间的点。如果是一个点，那么它必须要有坐标:

例如三维空间某个向量a=   (右边的括号就是指该维度的名字，我给第一个维度叫x轴，第二个叫y轴，第三个是z轴)，向量中的每一个数字都是向量在该维度延伸的量。

1.2矩阵

矩阵其实是一门很复杂的学问，有一个数学分支就叫《矩阵论》。可见矩阵是一个很重要，而且很有挖掘空间的问题。这里只谈一谈我对矩阵的理解。

如果只是单纯的给出一个矩阵，我会把它看成多个向量。例如一个m*k的矩阵A=

我会认为这个矩阵由m个行向量组成，或者看成由k个列向量组成。

1.3矩阵乘向量

但是如果是给出矩阵乘向量，我会认为矩阵是一个函数，也就是一个映射。

为什么我要这么看呢？就像一个函数   f(x)，向函数中输入一个x就会输出一个函数值。矩阵也是如此，我向矩阵输入一个向量（也就是矩阵乘向量）那么输出的也是一个向量。这就像对向量的一个映射。但是受MIT线性代数课的影响，我又有了新的认识。例如矩阵A=   向量b=      

Ab=

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在我过往的认知中，矩阵乘法是一个函数，而且在这个函数中向量每行的值只与矩阵对应的行有关。也就是说b1只与a1j有关，bi只与aij有关。既然是函数，就存在数据丢失的可能，原本的向量b为k维，现在的向量是m维。m<=k，如果m<k那么说明有部分维度的数据压缩了，而且这种压缩是不可逆的那么这个矩阵也是不可逆的（以后会具体叙述）。想要了解这部分的原理，可以看我的离散数学第二篇，https://blog.csdn.net/ACM5100/article/details/87353395。

不过在吉尔伯特-斯特朗的讲解下，现在我又对其有了新的认知。

矩阵是多个向量，矩阵乘向量是对矩阵中的向量进行线性组合。

例如：A=   矩阵A由k个列向量组成，分别是这k个向量。A*b是对A当中的这些向量进行线性组合，向量b=中的数就是这些组合的参数。如下：

A*b=

相信常数乘以向量，以及向量的加法运算不需要我多说了。

我们都知道一个规则，无论是在做矩阵乘法还是矩阵乘向量运算时，左边矩阵的列必须等于右边的行。说道这里也许你已经知道为什么了，因为右边的无论是矩阵还是向量，都是对左边矩阵中向量的组合方式。

2、矩阵乘法的理解

先来看看同济大学的《线性代数第六版》中是怎么写的。

乘积矩阵AB=C的(i,j)元Cij就是A的第i行与B的第j列的乘积。

也就是说：A是m*k的矩阵，A=    B是k*n矩阵 B=       那么C是m*p矩阵     C=

对于每一项 Cij=           这种计算方式过于暴力而且不便于理解。

2.1向量的组合

上面我们已经谈到过矩阵乘向量时，向量就是对矩阵中每个向量的线性组合。那么我们在做矩阵乘以矩阵时也可以如此思考。

右边的矩阵同样是由多个向量组成，那么矩阵乘矩阵就是矩阵分别乘以多个不相干的向量。如下：

=A*          =       =

这样，我们再组合这些单独的向量，就变成了矩阵C。

谈到这里我们一直都在叙述，左边矩阵提供向量，右边矩阵提供组合方式的理解方法。其实我们反过来看也是行的同的。

我们可以认为，左边的矩阵提供组合方式，右边的矩阵提供向量。不过这个时候组合的不是列向量，而是行向量。

如下：

同样矩阵A=    矩阵B=

A*B=C    矩阵C=

我们可以认为，A和B由行向量，例如B的行向量就是        .......  

这时我们把左矩阵，也就是A矩阵中的每个行向量作为组合的方式：

=

=

....

=

c的每一个行向量都可以通过右矩阵的行向量组合的方式计算。

最后总结一下，我们认为矩阵相乘是矩阵中的向量进项线性组合。其中，一个矩阵作为向量组，一个矩阵作为组合方式。

共有两种方式组合：

1、右矩阵中的列向量作为组合方式，左矩阵的列向量作为向量组。

2、右矩阵中的行向量作为向量组，左矩阵的行向量作为组合方式。

2.2列向量*行向量

列向量A=     行向量B=         C=A*B=

相信列向量乘行向量很好理解，只是需要注意一个特点，结果C矩阵中的每个列向量的方向都是相同的，同样所有行向量也是相同方向。这点很好证明，就不赘述了。

另外还有一个我现在还没有理解清楚的结论

C=A*B    C等于A的各列与B的各行的乘积。例如：

            

这个计算方式我还不太理解，以后我再回来补，如果有人看到我的这个博客也可以评论我教教我，ヾ(o′▽`o)ノ°°谢啦。

2.3矩阵分块

矩阵是可以分块计算的，直接给出例子吧：

A=      B=              注意这里的A1或是B1不是指的单个数字，而是指的一块矩阵。也就是说我把A分成4块，B分成4块。

C=A*B=         C1=A1*B1+A2+B3  

我们把矩阵分块之后，矩阵依然可以把每一个块当做元素，遵循原来矩阵计算的规则。

也就是说，C矩阵的某一块等于矩阵A的分块行乘以矩阵B的分块列。

3、结语

矩阵乘法是我们理解矩阵的基础，更是重中之重。我们必须通过矩阵乘法来窥视矩阵的抽象意义，不然线性代数的学习是根本进行不下去的。下一篇线性代数我会写关于逆矩阵的问题，以及为什么矩阵可以解方程，也许你会看到和你平时不一样的理解。