从汉诺塔问题看递归算法

汉诺塔问题

汉诺塔问题是一个经典的问题。汉诺塔（Hanoi Tower），又称河内塔，源于印度一个古老传说。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，任何时候，在小圆盘上都不能放大圆盘，且在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。问应该如何操作？

三个盘子的情况：

 四个盘子的情况：

从上面两种情况可以总结出：每次都是先将其他圆盘移动到辅助柱子上，并将最底下的圆盘移到c柱子上，然后再把原先的柱子作为辅助柱子，并重复此过程，例如对于64个盘子：

1. 将b柱子作为辅助，把a上的63个圆盘移动到b上
2. 将a上最后一个圆盘移动到c
3. 将a作为辅助，把b上的62个圆盘移动到a上
4. 将b上的最后一个圆盘移动到c
5. .....

程序实现

void hanoi(int n,int p1,int p2,int p3)
{
	if(1==n)
		cout<<"盘子从"<<p1<<"移到"<<p3<<endl;
	else
	{
		hanoi(n-1,p1,p3,p2);
		cout<<"盘子从"<<p1<<"移到"<<p3<<endl;
		hanoi(n-1,p2,p1,p3);
	}
}

递归算法

程序自身调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）。递归有直接递归和间接递归

• 直接递归：函数在执行过程中调用本身。
• 间接递归：函数在执行过程中调用其它函数再经过这些函数调用本身。

递归有四个特性：

1. 必须有可最终达到的终止条件，否则程序将陷入无穷循环；
2. 子问题在规模上比原问题小，或更接近终止条件；
3. 子问题可通过再次递归调用求解或因满足终止条件而直接求解；
4. 子问题的解应能组合为整个问题的解。

递归算法的其他例子

阶乘问题

int factorial(int n){
     if(n == 1)
          return 1;
     else
          return n * factorial(n-1);  
}