密码学与信息安全基础-数论

1、Euclidian algorithm

最大公因数(Greatest Common Divisor)
\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)

//recursive version
int gcdr(int a,int b){
  return (b==0)?(a):gcdr(b,a%b);
}

//iterative version
int gcdi(int a,int b){
  while (b!=0) {
    int r=a%b;//a=q*b+r
    a=b;
    b=r;
  }
  return a;
}

2、扩展欧几里得算法

定理：
\(if\ d=gcd(a,b),\ then\ \exists s,t\ d=s*a+t*b\)
因此如果\(gcd(a,b)=1\)即a,b互素，那么\(1=s*a+t*b\)恒成立

void gcde(int a,int b){
    int s1=1,s2=0,s3;
    int t1=0,t2=1,t3;
    while(b!=0){
        int q=a/b;
        int r=a%b;
        a=b;
        b=r;
        s3=s1-q*s2;
        t3=t1-q*t2;
        s1=s2;
        s2=s3;
        t1=t2;
        t2=t3;
    }
    printf("%d %d %d",a,s1,t1);
}

应用：扩展欧几里得算法解丢番图方程

丢番图方程\(ax+by=c\ (x,y \in Z)\)
解法：

d=gcd(a,b)
if d|c, then infinite solutions.else no solution.
方程两边同除d，得到\(a_1*x+b_1*y=c_1\)
此时\(gcd(a_1,b_1)=1\)，故\(a_1*s+b_1*t=1\)
显然方程有特解\(x=c_1*s,y=c_1*t\)
于是通解为\(x=c_1*s-k*b_1,y=c_1*t+k*a_1\)

3、加法逆元，乘法逆元

3.1关系relation

设R是非空集合X上的二元关系

\(R是自反的\Leftrightarrow(\forall x)(x\in X\rightarrow xRx)\)
\(R是反自反的\Leftrightarrow(\forall x)(x\in X\rightarrow x\overline{R}x)\)
\(R是对称的\Leftrightarrow(\forall x)(\forall y)(x \in X \land y \in X\land xRy\rightarrow yRx)\)
\(R是反对称的\Leftrightarrow(\forall x)(\forall y)(x \in X \land y \in X\land xRy\land yRx\rightarrow x=y)\)
\(R是传递的\Leftrightarrow(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x \in X \land y \in X \land z\in X \land xRy\land yRz\rightarrow xRz)\)

等价关系R
设R是非空集合X上的二元关系，如果R是自反的，对称的和传递的，则称R是等价关系。

同余关系

\(a\div n=q\cdots r\Rightarrow a\bmod n=r\)

a和b同余于m
\[ \left\{ \begin{aligned} a\bmod m=r \\ b\bmod m=r \end{aligned} \right\}\Leftrightarrow a\equiv b\ (\bmod m). \]
模m同余是整数集上的一个等价关系
\[ \begin{aligned} proof&:\\ &1.\ a\equiv a(\bmod m)\Rightarrow自反性\\ &2.\ a\equiv b(\bmod m)\rightarrow b\equiv a(\bmod m)\Rightarrow对称性\\ &3.\ a\equiv b(\bmod m)\land b\equiv c(\bmod m)\rightarrow a\equiv c(\bmod m) \Rightarrow传递性\\ \end{aligned} \]

3.2 加法逆元

\(if\ a+b=0\ \bmod m\ \rightarrow\ -a=b\)
即a的加法逆元-a是b

3.3 乘法逆元

\(if\ a*b=1\ \bmod m\ \rightarrow\ a^{-1}=b\)
即a的乘法逆元是b
\(iff.\ gcd(a,m)=1\rightarrow \exists a^{-1}\)
当 \(a^{-1}\) 存在时，使用扩展欧几里得算法求乘法逆元：
\[ \begin{aligned} &\because gcd(m,a)=1\\ &\therefore \exists\ s,t\ 1=s*m+t*a\\ &\ 1\bmod m=(s*m+t*a)\bmod m=t*a\bmod m \end{aligned} \]
可知\(a^{-1}=t\) 很容易用扩展欧几里得求得乘法逆元