矩阵AB和BA的特征值关系

$\quad$本文考察这样的两个矩阵： $A\in R^{m\times n}，B\in R^{n\times m}$.于是 $AB\in R^{m\times m}，BA\in R^{n\times n}$.它们都是方阵但阶次不同.我们将证明：
$\quad$AB和BA具有相同的非零特征值.
$\quad$证明：
$\quad$考察这样两个矩阵： $\begin{bmatrix}AB&O\\B&O\end{bmatrix}$和 $\begin{bmatrix}O&O\\B&BA\end{bmatrix}$,有：
$\begin{bmatrix}I_m&-A\\O&I_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}AB&O\\B&O\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_m&A\\O&I_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}O&O\\B&BA\end{bmatrix}$
又由 $\begin{bmatrix}I_m&-A\\O&I_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_m&A\\O&I_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_m&O\\O&I_n\end{bmatrix}$可知， $\begin{bmatrix}AB&O\\B&O\end{bmatrix}$和 $\begin{bmatrix}O&O\\B&BA\end{bmatrix}$相似，它们具有相同的特征多项式.也即是： $|\lambda I_m-AB|\lambda^n=\lambda^m|\lambda I_n-BA|$假设AB有某一非零特征值 $\lambda ^*$,那么 $|\lambda^* I_m-AB|=0$,于是由上面得到的式子： $(\lambda^*)^m|\lambda^* I_n-BA|=0$,而 $\lambda ^*$非零因而 $|\lambda^* I_n-BA|=0$,也即是： $\lambda ^*$也是BA的特征值；同理，BA的非零特征值也都是AB的特征值.
$\quad$证毕.