【费用流-二分增广路径】CC_PARADE Annual Parade

【题目】
Codechef
有一幅 $n$ 个点 $m$ 条带权边的有向图（可能有重边），你可以选择任意个人在上面以任意方式进行游走（至少走一步），每个人每走过一条边会花费其边权。每有一个人起点不等于终点花费会 $+C$ ，每有一个点没有被经过花费会 $+C$ 。

有 $Q$ 个询问，每个询问给定一个 $C$ ，求最小花费。
$n\leq 250,m\leq 30000,Q,C\leq 10000$

【解题思路】
这又是什么玄学题目啊。

原来这个问题实在是无从下手，我们需要转化这个问题，不妨先考虑当 $C$ 很大的时候我们怎么做。由于节点和边都可以经过多次，不妨处理出两两点对之间的路径最小花费，这个用 $\text{floyd}$ 就可以解决了。那么现在问题可以转化为有向图的最小路径覆盖，因为不用路径匹配一个点一定不优。（一条只有一个点的路径可以看作不访问这个城市）

这个问题的标准解法大概是这样的，以下连边为 $(u,v,flow,cost)$
对于每个点 $i$ ，拆点 $i,i'$ ，连边 $(S,i,1,0)(i',T,1,0)$
对于一条原图中的边 $(u,v,w)$ ，连边 $(u,v',1,w)$

初始花费为 $n\cdot C$ ，表示没有选择路径。考虑我们每次增广出了一条新的增广路，会连接两条不相连的路径使得花费 $-C$ ，或连成一个环，也会使得花费 $-C$ 。

那么现在如果 $C$ 没有那么大呢？其实也比较显然了，我们新选择的增广路花费一定不能超过 $C$ ，否则就不优秀了。于是我们实际上需要跑一个最小费用最大流，并增广所有花费比 $C$ 小的增广路。

图是一样的，而又因为我们每次一定是选择最小费用的一条路进行增广，我们不妨依次记录每条增广路的花费，最后询问二分增广到哪条路即可。

复杂度是费用流的复杂度加上一个 $O(Q\log n)$ 吧。
~~话说我写的时候费用流的spfa判断false条件又写错了。~~

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;

const int N=255,M=1e6+10,inf=0x3f3f3f3f;

namespace IO
{
	int read()
	{
		int ret=0;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)) c=getchar();
		while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
		return ret;
	}
	void write(int x){if(x>9)write(x/10);putchar(x%10^48);}
	void writeln(int x){write(x);putchar('\n');}
}
using namespace IO;

namespace Flow
{
	int tot=1,S,T,cnt;
	int dis[N<<1],inq[N<<1],head[N<<1],cur[N<<1],vis[N<<1];
	int cst[M],sumc[M],sumf[M];
	queue<int>q;
	struct Tway{int v,nex,w,c;}e[M];
	void add(int u,int v,int w,int c)
	{
		e[++tot]=(Tway){v,head[u],w,c};head[u]=tot;
		e[++tot]=(Tway){u,head[v],0,-c};head[v]=tot;
	}
	bool spfa()
	{
		memset(dis,0x3f,sizeof(dis));memcpy(cur,head,sizeof(head));memset(vis,0,sizeof(vis));
		q.push(S);dis[S]=0;
		while(!q.empty())
		{
			int u=q.front();q.pop();inq[u]=0;
			for(int i=head[u];i;i=e[i].nex)
			{
				int v=e[i].v;
				if(e[i].w && dis[u]+e[i].c<dis[v])
				{
					dis[v]=dis[u]+e[i].c;
					if(!inq[v]) q.push(v),inq[v]=1;
				}
			}
		}
		return dis[T]<10000;//wrong because dis[T]<inf,here is where i usually make mistake,we need cost<10000
	}
	int dfs(int x,int flow,int cost)//wrong because no vis
	{
		if(x==T)
		{
			cst[++cnt]=cost;
			sumf[cnt]=sumf[cnt-1]+flow;
			sumc[cnt]=sumc[cnt-1]+flow*cost;
			return flow;
		}
		vis[x]=1;int used=0,f;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
		{
			int v=e[i].v;
			if(!e[i].w || dis[v]!=dis[x]+e[i].c || vis[v]) continue;
			f=dfs(v,min(e[i].w,flow-used),cost+e[i].c);
			e[i].w-=f;e[i^1].w+=f;used+=f;
			if(used==flow) return used;
		}
		if(!used) dis[x]=inf; vis[x]=0;
		return used;
	}
	void mcmf(){while(spfa()) dfs(S,inf,0);}
}
using namespace Flow;

namespace DreamLolita
{
	int n,m,Q;
	int dis[N][N];
	void solution()
	{
		n=read();m=read();Q=read();memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
		for(int i=1;i<=n;++i) dis[i][i]=0;
		for(int i=1,x,y,w;i<=m;++i)
			x=read(),y=read(),w=read(),dis[x][y]=min(dis[x][y],w);

		for(int k=1;k<=n;++k) for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j)
			dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

		S=2*n+1;T=2*n+2;
		for(int i=1;i<=n;++i) add(S,i,1,0),add(i+n,T,1,0);
		for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) 
			if(i^j && dis[i][j]<inf) add(i,j+n,1,dis[i][j]);
		mcmf();

		while(Q--)
		{
			int c=read(),pos=lower_bound(cst+1,cst+cnt+1,c)-cst-1;
			writeln(n*c+sumc[pos]-sumf[pos]*c);
		}
	}
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("CC_PARADE.in","r",stdin);
	freopen("CC_PARADE.out","w",stdout);
#endif
	DreamLolita::solution();
	return 0;
}

【费用流-二分增广路径】CC_PARADE Annual Parade

猜你喜欢