设有一个矩阵链A1*A2*A3，其维度为30*35,35*15,15*5。不同的结合性，需要的矩阵乘法数量不同，m[(A1*A2)*A3] = 30*35*15+0+30*15*5 = 18000，而m[A1*(A2*A3)] = 0+35*15*5+30*35*5 = 7875。所以，结合性在A1后面划分，运算量最小。
对于矩阵链A1*A2*A3*......*An，假设矩阵都是相容的，如果用递归的方法解，其复杂度为Ω(2^n)（有证明），而动态规划的复杂度为Ω(n^3)+seta(n^2)。
动态规划算法的四步：1、描述最优解的结构：对于矩阵链A(i)A(i+1)......A(j)，若存在i<=k<j，使得A(i)A(i+1)......A(k)、A(k+1)......A(j)、两个子结构之积，这三者代价之和最小，那么k为其中一个划分。同时两个子结构为最优子结构。2、定义最优解的值：m[i,j] = min{m[i,k]+m[k+1,j]+p(i-1)pkpj} (i<j,i<=k<j)和m[i,j] = 0 (i=j)。3、由低向上计算最优解的值：对于矩阵链A1*A2*A3*......*An，自左往右，首先计算步长为1的最优解，步长依次递增，直到求步长为n-1的最优解。其中m[i,j]存最优解代价，s[i,j]存放最优解的划分位置。4、根据S[i,j]就能够求的具体的划分了。
伪代码：
图1
下面是具体代码实现：
#include<stdio.h>
int PrintDivi(int (*p)[6], int start, int end)
{
int Divi;
Divi = p[start][end];
if(start == end)
printf("A%d",start+1);
else
{
printf("(");
PrintDivi(p, start, Divi);
PrintDivi(p, Divi+1, end);
printf(")");
}
}
int main(void)
{
int l,i,j,k,temp;
int p[7] = {30,35,15,5,10,20,25};
int m[6][6],s[6][6];
for(i=0;i<6;i++)
{
m[i][i] = 0;
}
for(l=2;l<=6;l++)
for(i=0;i<6-l+1;i++)
{
j=i+l-1;
m[i][j] = 0x7fffffff;
for(k=i;k<j;k++)
{
temp = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1];
if(temp<m[i][j])
{
m[i][j] = temp;
s[i][j] = k;
}
}
}
PrintDivi(s, 0, 5);
return 0;
}