题意: 已知集合A,B,C, 输出三集合的并集。
容斥原理(用图解释)
∩
∪
对于求三集合并集的公式:
A∪B∪C=A+B+C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C
对于证明,我就简单的叙述一下。
因为求并集不能将两集合的重复元素进行相加。而 A+B+C 没有考虑重复元素,直接相加,显然这是元素多加的情况,那要还原必须要减去多加的部分,对于上图蓝色部分只加了一次,红色部分加了两次,绿色的部分加了三次,那么我们只需要使他们全部只加一次就能得到正确答案。
所以我们要执行下操作 A+B+C -(A∩B + A∩C + B∩C) ,但还不算完美,因为在这里绿色部分被减了三次,要使把绿色部分只减一次,那么要再加上一个绿色部分即可。
对于求四集合并集的公式:
A∪B∪C∪D=A+B+C+D - A∩B - B∩C - C∩A - A∩D - B∩D - C∩D + A∩B∩C + A∩B∩D + A∩C∩D + B∩C∩D - A∩B∩C∩D ( 规律 集合数 奇加偶减)
对于证明类似于上列三元并集证明。
贴一题目(四元):