快速幂求x的n次方

问题

O(logn)的时间复杂度求x的n次方，x为自然数，n为整数？

举例解析

如果 power=5 为奇数，result保存当前的多余的一个4，并在返回结果时一并与结果相乘。
2^10 = (2*2) * (2*2) * (2*2) * (2*2) * (2*2)= 4 ^5 = 4^4 * 4

4^4 = (4*4) * (4*4) = 16 ^ 2

16^2 = 16 * 16 = 256

如果 power=1 时，结果返回base=256
256^1 = 256

数学证明

求x^y?
y使用二进制数表示：

y = 2^y0 + 2^y1 + 2^y2 + 2^y3 + ... + 2^yn


x^y = x^(2^y0 + 2^y1 + 2^y2 + 2^y3 + ... + 2^yn)
    = x^(2^y0) * x^(2^y1) * x^(2^y2) * x^(2^y3) * ... * x^(2^yn-1) * x^(2^yn)

证明：x^(2^yn) = (x^(2^yn-1))^(2^yn-1), yn = 2 * yn-1 ?

     x^(2^yn) = x^(2^(2 *yn-1))
              = x^(2^yn-1 * 2^yn-1)
              = (x^(2^yn-1))^(2^yn-1)

递归版

int fast_pow(int base, int power) {
    if (base == 0) return 0;
    if (power == 0) return 1;
    if (power == 1) return base;

    if (power%2 == 1)
        return base*fast_pow(base*base, power/2);
    return fast_pow(base*base, power/2);
}

非递归版

int fast_pow2(int base, int power) {
    if (base == 0) return 0;
    if (power == 0) return 1;
    if (power == 1) return base;

    int result = 1; // 在power为奇数时，保存当前的base值(value)
    int value = base;
    for (; power > 1; value*= value, power/=2) {
        if (power%2 == 1) result *= value;
    }
    return result * value;
}

时空复杂度

f(n)函数为fast_power算法的执行的基本操作的执行次数
f(1) = 0
f(n) = f(n/2)+1
     = f(n/2^2) + 1 + 1
     ...
     = f(n/2^k) + k
当n/2^k = 1，k=logn，f(n) = logn
则fast_power算法的时间复杂度为O(logn)
空间复杂度为O(1)

参考

Fast Power Algorithm: C/C++ and Python Code
快速冪 Exponentiation by squaring | 黃鈺程
Fast Power