球体积公式推导（积分）

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球的体积

刚刚学了定积分的一点皮毛…来玩一玩
废话不多说，Let’s start

设球的半径为 $R$
我们把球（我们通过半球来考虑）切成好多好多（ $n$片）薄片，就是一个一个的圆，设圆的半径分别为 $r$
面积

$S(r)=\pi r^2$

到圆心距离为 $x$的圆的半径

$f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$

可以得到

$V=2\int_{0}^{R}S(f(x))dx$

$=2\int_{0}^{R}S(\sqrt{R^2-x^2})dx$

$=2\int_{0}^{R}\pi(R^2-x^2)dx$

$=2\pi(\int_{0}^{R}R^2dx-\int_{0}^{R}x^2dx)$

$=2\pi(R^3-\int_{0}^{R}x^2dx)$

下面我们来看以下 $g(x)$如何解决

$g(x)=\int_{0}^{R}x^2dx$

$=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}(\frac{iR}{n})^2\times\frac{R}{n}$

$=\lim_{n\to \infty}\frac{R^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2$

$=\lim_{n\to \infty}\frac{R^3}{n^3}\times\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$=\lim_{n\to \infty}\frac{R^3}{6}\times(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})$

$=\frac{R^3}{3}$

最后代入 $V$，大功告成

$V=2\pi(R^3-\int_{0}^{R}x^2dx)$

$=2\pi(R^3-\frac{R^3}{3})$

$=\frac{4}{3}\pi R^3$

其实算出了 $V$的公式，球的表面积公式就不攻自破了。
只要对 $V$求导就好了
为什么呢？因为一个球变大了很小很小的一点点，不就相当于多了一层表面积吗

$S=V'=4\pi R^2$