P2834-能力测验【数论，整除分块】

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正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2834

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题目大意

求 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(n\%i)*(m\%j)*(i!=j)$

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解题思路

$\sum_{i=1}^n(n\%i)*\sum_{j=1}^m(m\%j)-\sum_{i=1}^{min\{n,m\}}(n\%i)*(m\%i)$
前面的很好求，我们考虑如何求后面的。
单独考虑 $\sum_{i=1}^{n}(n\%i)=n^2-\sum_{i=1}^n\lfloor n/i\rfloor*i$
同理 $\sum_{i=1}^{min\{n,m\}}(n-\lfloor n/i\rfloor*i)*(m-\lfloor m/i\rfloor*i)$
$\sum_{i=1}^{min\{n,m\}}n*m-(m*\lfloor n/i\rfloor+n*\lfloor m/i\rfloor)*i+\lfloor m/i\rfloor*\lfloor n/i\rfloor*i^2$
$n*m*min\{n,m\}-\sum_{i=1}^{min\{n,m\}}(m*\lfloor n/i\rfloor+n*\lfloor m/i\rfloor)*i-\lfloor m/i\rfloor*\lfloor n/i\rfloor*i^2$
然后除了 $i^2$其他用整体分块都好求，之后我们考虑如何求 $\sum_{i=1}^{min\{n,m\}} i^2$

$\sum_{i=1}^{min\{n,m\}} i^2=\frac{i*(i+1)*(2*i+1)}{6}$

数学归纳法

$\sum_{i=1}^{min\{n,m\}} x^2=\frac{x*(x+1)*(2*x+1)}{6}$
$(\sum_{i=1}^{min\{n,m\}} x^2)+(x+1)^2=\frac{x*(x+1)*(2*x+1)}{6}+(x+1)^2$
$=>\frac{(x+1)*(2*x^2+x)+6(x+1)^2}{6}$
$=>\frac{(x+1)*(2*x^2+7x+6)}{6}$
$=>\frac{(x+1)*(x+2)*(2*x+3)}{6}$
$=>\frac{(x+1)*(x+2)*(2*(x+1)+1)}{6}$

证毕

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$code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define sum(l,r) ((l+r)*(r-l+1)/2)
using namespace std;
const int XJQ=1e9+7;
ll n,m,ans;
ll Qs(ll n,ll k)
{
    ll ans=0;
    for(ll x=1,gx;x<=min(n,k);x=gx+1){
        gx=min(k/(k/x),n);
        (ans+=(k/x)*sum(x,gx)%XJQ)%=XJQ;
    }
    return ans%XJQ;
}
ll lx(ll x)
{
    return x*(x+1)%XJQ*(2*x+1)%XJQ*166666668%XJQ;
} 
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(m>n) swap(n,m);
    ans=(n*n-Qs(n,n))%XJQ;
    ans=(m*m-Qs(m,m))%XJQ*ans%XJQ;
    ans=(ans+Qs(m,m)*n%XJQ)%XJQ;
    ans=(ans+Qs(m,n)*m%XJQ)%XJQ;
    ans=(ans-m*m%XJQ*n%XJQ+XJQ)%XJQ;
    int tmp=0;
    for(ll i=1,dn,dm,next;i<=m;i=next+1){
        dm=m/i;
        dn=n/i;
        next=min(n/dn,m/dm);
        (tmp+=(lx(next)-lx(i-1))*dn%XJQ*dm%XJQ)%=XJQ;
    }
    printf("%lld",(ans-tmp+XJQ)%XJQ);
}