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Problem 5311. -- 贞鱼

5311: 贞鱼

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Description

众所周知，贞鱼是一种高智商水生动物。不过他们到了陆地上智商会减半。

这不？他们遇到了大麻烦！

n只贞鱼到陆地上乘车，现在有k辆汽车可以租用。

由于贞鱼们并不能在陆地上自由行走，一辆车只能载一段连续的贞鱼。

贞鱼们互相有着深深的怨念，每一对贞鱼之间有怨气值。

第i只贞鱼与第j只贞鱼的怨气值记为Y _ij，且Y _ij=Y _ji，Y _ii=0。

每辆车载重不限，但是每一对在同辆车中的贞鱼都会产生怨气值。

当然,超级贞鱼zzp长者希望怨气值的总和最小。

不过他智商已经减半,想不出分配方案。

他现在找到了你,请你帮助他分配贞鱼们,并输出最小怨气值之和ans。

Input

第一行两个整数:n,k。

接下来读入一个n行n列的矩阵。矩阵中第i行j列的元素表示Y _ij。

当然这个矩阵是对称的。

Output

一个整数ans，表示：最小的怨气值之和

★注意：同辆车中，贞鱼i,j之间的怨气只算一次！

1 ≤ n ≤4000 ，1 ≤ k ≤min(n , 800) , 0 ≤ Yij≤10

Sample Input

8 3
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 0

Sample Output

7
编号为1，2，3的贞鱼一辆车：怨气值和为3；
编号为4，5，6的贞鱼一辆车：怨气值和为3；
编号为7，8的贞鱼一辆车：怨气值和为1。
最小怨气值总和为 3 + 3 + 1 = 7 。

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分析

显然每条鱼坐一辆车最优，代价为0。考虑二分一个权值，表示这辆车的价钱为C。如果C=0，就会选出n辆车，如果C=inf，就会只用一辆车。于是用这个权值逼近，直到选出刚好K辆车。此时选择的方案一定为最优解的一种方案。

DP方程：
\[ F[i]=\min_{0\le j<i}\{F[j]+(s[i][i]+s[j][j]-s[i][j]*2)/2+C\} \]
考虑题目中所给的那个两条鱼之间的代价，发现就是一个正方形数组里面在主对角线上选一个正方形求和。用二维前缀和维护即可。并且易证这个转移满足四边形不等式。

凸优化+决策单调性优化，时间复杂度\(O(n\log n\log w)\)

代码

这个决策单调性优化有毒……换了一种维护版本才过的。并且二分后--l是什么操作……

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
using namespace std;

co int N=4001,INF=0x3f3f3f3f;
int n,K,s[N][N],g[N],f[N],C;
il int val(int j,int i){
    return j<i?f[j]+(s[i][i]+s[j][j]-s[i][j]*2)/2+C:INF;
}
struct Q{int x,l,r;}q[N];
int L,R;
void insert(int i){
    int w=-1;
    while(L<=R){
        if(val(i,q[R].l)<=val(q[R].x,q[R].l)) w=q[R--].l;
        else{
            if(val(q[R].x,q[R].r)>val(i,q[R].r)){
                int l=q[R].l,r=q[R].r;
                while(l<r){
                    int mid=l+r>>1;
                    if(val(i,mid)>val(q[R].x,mid)) l=mid+1;
                    else r=mid;
                }
                q[R].r=l-1,w=l;
            }
            break;
        }
    }
    if(w!=-1) q[++R]=(Q){i,w,n};
}
void dp(){
    L=R=0,q[0]=(Q){0,1,n};
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(L<=R&&q[L].r<i) ++L;
        f[i]=val(q[L].x,i),g[i]=g[q[L].x]+1;
        q[L].l=i+1;
        insert(i);
    }
}
int main(){
    read(n),read(K);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j) s[i][j]=read<int>()+s[i][j-1]+s[i-1][j]-s[i-1][j-1];
    int l=0,r=s[n][n];
    while(l<r){
        C=l+r>>1,dp();
        if(g[n]>K) l=C+1;
        else r=C;
    }
    C=l,dp();
    printf("%d\n",f[n]-g[n]*C);
    return 0;
}

BZOJ5311,CF321E 贞鱼

题意