版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/seagal890/article/details/89606642
JAVA算法:切割木棒—递归算法与动态规划算法
给定一根长度为N的木棒和一系列价格,其中包含所有小于N的尺寸的价格。通过切割木棒和出售木棒来确定可获得的最大值。
例如,如果木棒的长度为8,不同部分的值如下所示,则可获得的最大值为22(通过切割两段长度2和6)
长度 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
价值 | 1 | 5 | 8 | 9 | 10 | 17 | 17 | 20 |
使用动态规划解决这个问题。
最优子结构
通过在不同的位置进行切割并比较切割后获得的值来获得最佳价格。
对于长度为n的木棒,将CutRod(n)设为所需(可能的最佳价格)值。CutRod(n)可以定义为:
CutRod(n) = Max(价格[i]+CutRod(n-i-1))for all i in {0,1..N-1}
重叠的子问题
下面是切割木棒问题的简单递归实现。实现只遵循上面提到的递归结构。
算法设计
package com.bean.algorithm.basic;
public class RodCutting {
// A Naive recursive solution for Rod cutting problem
/*
* Returns the best obtainable price for a rod of length n and price[] as prices
* of different pieces
*/
static int cutRod(int price[], int n) {
if (n <= 0)
return 0;
int max_val = Integer.MIN_VALUE;
// Recursively cut the rod in different pieces and
// compare different configurations
for (int i = 0; i < n; i++)
max_val = Math.max(max_val, price[i] + cutRod(price, n - i - 1));
return max_val;
}
/* Driver program to test above functions */
public static void main(String args[]) {
int arr[] = new int[] { 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20 };
int size = arr.length;
System.out.println("Maximum Obtainable Value is " + cutRod(arr, size));
}
}
程序运行结果:
Maximum Obtainable Value is 22
考虑到上述实现过程,下面是长度为4的杆的递归调用过程(递归树)。
在上述部分递归树中,CR(2)被求解两次。我们可以看到,有许多子问题是反复解决的。由于再次调用了相同的父问题,所以这个问题具有重叠的子族属性。因此,切割木棒问题具有动态规划问题的两个性质。与其他典型的动态规划(DP)问题一样,可以通过自下而上构造dp[]数组来避免相同子问题重复计算。
下面给出动态规划算法
package com.bean.algorithm.basic;
public class RodCutting2 {
/*
* A Dynamic Programming solution for Rod cutting problem
* Returns the best obtainable price for a rod of length n and price[] as prices
* of different pieces
*/
static int cutRod(int price[], int n) {
int val[] = new int[n + 1];
val[0] = 0;
// Build the table val[] in bottom up manner and return
// the last entry from the table
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int max_val = Integer.MIN_VALUE;
for (int j = 0; j < i; j++)
max_val = Math.max(max_val, price[j] + val[i - j - 1]);
val[i] = max_val;
}
return val[n];
}
/* Driver program to test above functions */
public static void main(String args[]) {
int arr[] = new int[] { 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20 };
int size = arr.length;
System.out.println("Maximum Obtainable Value is " + cutRod(arr, size));
}
}
程序运行结果:
Maximum Obtainable Value is 22