Space Analytic Geometry

Vector Algebra

向量

向量的记法：加粗（如 a、b、u、v）或者加小箭头（如 $\vec a,\vec b, \overrightarrow{AB}$）
向量的大小：叫做向量的模，记作 |a| , $|\vec b|, |\overrightarrow{AB}|$，模等于1的限量叫做单位向量记作 $\vec e$或e，模等于0的叫做零向量，记作 $\vec 0$或0
向量夹角： $(\widehat{\vec a,\vec b})=\varphi,\varphi\in[0,\pi]$

线性运算

向量运算	表达式(a,b为向量)
交换律	a+b=b+a
结合律	a+(b+c)=(a+b)+c
数乘	λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a (λ+μ)a=λa+μa λ(a+b)=λa+λb

坐标表示：： $a\parallel b\iff \exists!\lambda,使b=\lambda a$
点M，向量 $\vec r$与三个有序实数对一一对应关系
$M\longleftrightarrow \vec r=\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k\longleftrightarrow (x,y,z)$

坐标运算	$\vec a=(x_1,y_1,z_1),\vec b=(x_2,y_2,z_2),\vec c=(x_3,y_3,z_3)\\ \vec r=(x,y,z)$
向量的模	$\mid \vec r\mid=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
方向角和余弦	$(\cosα,\cosβ,\cosγ)=\dfrac{1}{\vec r}(x,y,z)=\vec e_r \\ \cos^2α+\cos^2β+\cos^2γ=1$
向量在坐标轴上的投影	$(x_1,y_1,z_1)=(\mathrm{Prj}_x\vec a,\mathrm{Prj}_y\vec a,\mathrm{Prj}_z\vec a)或\\ (x_1,y_1,z_1)=(\ (\vec a)_x,(\vec a)_y,(\vec a)_z\ )$
加法	$\vec a+\vec b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$
数乘	$λ \vec a=(λ x_1,λ y_1,λ z_1)$
数量积	$\vec a\cdot\vec b=\mid \vec a\mid\mid \vec b\mid\cos(\widehat{\vec a,\vec b})=\mid \vec a\mid\mathrm{Prj}_a\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
向量积	$\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k \\ x_1 &y_1&z_1\\ x_2 &y_2&z_2\end{vmatrix}$
混合积	$[\vec a\vec b\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\begin{vmatrix}x_1 &y_1&z_1 \\ x_2 &y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}$ 几何意义：平行六面体的体积

结论
(1) $\vec a\cdot\vec b=0 \iff \vec a\bot\vec b$
(2) $\vec a \times\vec b=0 \iff \vec a\parallel\vec b$
(2) $[\vec a\vec b\vec c]=0 \iff \vec a,\vec b,\vec c\ 共面$

Space Analytic Geometry

平面及其方程

(1) 点法式方程： $法向量\vec n\cdot\overrightarrow{M_0M}=0\Rightarrow A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
(2) 平面一般方程： $Ax+By+Cz+D=0$
(3) 平面的截距方程： $\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{b}+\dfrac{x}{c}=0$
(4) 两平面的夹角：两平面法线的夹角 $\cos\theta=|\cos(\widehat{\vec n_1,\vec n_2})|$

空间直线及其方程

(1) 直线的一般方程 $\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$
(2) 直线的对称式方程(点向式方程)： $方向向量\vec s\times\overrightarrow{M_0M}=0\Rightarrow \dfrac{x-x_0}{m}= \dfrac{y-y_0}{n}= \dfrac{z-z_0}{p}$
(3) 直线的参数方程： $\begin{cases}x=x_0+mt \\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases}$
(4) 两直线的夹角：方向向量的夹角 $\cos\varphi=|\cos(\widehat{\vec s_1,\vec s_2})|$
(5) 直线与平面的夹角：直线与在平面上投影直线的夹角 $\sin\varphi=|\cos(\widehat{\vec s,\vec n})|$

曲面及其方程

曲面的一般方程 $F(x,y,z)=0$
曲面参数方程 $\begin{cases}x=x(s,t)\\ y=y(s,t)\\ z=z(s,t) \end{cases}$

• 旋转曲面：旋转曲线和定制线依次叫做曲面的母线和轴。
  (1) 绕z轴的方程 $f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$，x轴、y轴同理
  (2) 圆锥曲面： $z^2=a^2(x^2+y^2),a=\cot\alpha$
  (3) 双曲面： $xOz$坐标面上的双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$
  旋转单叶双曲面（绕z轴旋转） $\dfrac{x^2+y^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$
  旋转双叶双曲面（绕x轴旋转） $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2+z^2}{c^2}=1$
  

• 柱面：直线L（母线）沿曲线C（准线）平行移动形成的轨迹
  一般的只含 $x,y$而缺 $z$的方程 $F(x,y)=0$表示母线平行于z轴的柱面，其准线是 $xOy$平面上的曲线 $C:F(x,y)=0$，x,y轴类似。

• 二次曲面：与曲线类似，我们把三元二次方程形成的曲面叫做二次曲面，平面称为一次曲面。
  (1) 椭圆锥面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z^2$
  (2) 椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$
  
  (3) 单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$
  (4) 双叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$
  (5) 椭圆抛物面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z$
  (6) 双曲抛物面（马鞍面） $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z$
  
  (7) 椭圆柱面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
  (8) 双曲柱面 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$
  (9) 抛物柱面 $x^2=ay$

空间曲线及其方程

(1) 空间曲线的一般方程 $\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$
(2) 曲线参数方程 $\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases}$
螺旋线 $\begin{cases}x=a\cos\omega t\\ y=a\sin\omega t\\ z=vt \end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=a\cos\theta\\ y=a\sin\theta\\ z=b\theta\end{cases}$

(3) 空间曲线在坐标面上的投影
曲线C一般方程消去z得到 $H(x,y)=0$，由上节知道这是母线平行于z轴的柱面，曲线C的所有点满足方程，都在柱面上，此柱面叫做曲线C在坐标平面 $xOy$上的投影柱面，投影曲线方程为 $\begin{cases}H(x,y)=0\\ z=0 \end{cases}$，其余坐标面类似。