线性代数——行列式

二阶行列式

形如：
$\begin{vmatrix} a_{11} \; a_{12} \\ a_{21} \; a_{22} \end{vmatrix}$
叫做一个二阶行列式，其值由主、副对角线的积作差得到

三阶行列式

形如：
$\begin{vmatrix} a_{11} \; a_{12} \; a_{13} \\ a_{21} \; a_{22} \; a_{23} \\ a_{31} \; a_{32} \; a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$
叫做三阶行列式

$n$ 阶行列式

用
$D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
表示一个 $\bm n$阶行列式，其中元素 $\alpha_{ij}\in\mathbb{C}$，这里 $\mathbb{C}$ 为复数集。为了描述行列式中某个位置的元素，将行列式的横排称为行，竖排称为列，那么 $\alpha_{ij}$ 表示此 $n$ 阶行列式的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素， $i$ 称为行指标， $j$ 称为列指标。

$n$ 阶行列式
$D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
等于所有来自不同行不同列的 $n$ 个元素乘积的代数和。由于代数和的项数为 $n!$ 个，为了表达方便，我们可以将每项中的 $n$ 个元素按行指标由小及大的顺序排列，即写作 $a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$ 的形式，并规定当列指标 $j_1j_2 \cdots j_n$ 是偶排列时，此项前面带正号；当列指标 $j_1j_2 \cdots j_n$ 是奇排列时，此项前面带负号。这样， $n$ 阶行列式可以表示为：
$D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2 \cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$
上式称为行列式的展开式

上述 $n$ 阶行列式通常记为 $D=det(a_{ij})$ 或者 $|a_{ij}|$

在行列式中，由左上角到右下角所形成的斜线称为主对角线，由右上角到左下角所形成的斜线称为副对角线。在主对角线下面的元素全为0，称为上三角形行列式，如果主对角线上面的元素全为0，则称为下三角形行列式。上三角形行列式和下三角形行列式统称为三角形行列式。如果除了对角线之外的元素全为0，则称之为对角行列式。

行列式的性质

1. 行与列互换，行列式的值不变，即
   $|D|=|D^T|$
   称 $D^T$ 为 $D$ 的转置行列式，有时也记为 $D^{'}$
2. 在行列式中，如果某一行（列）元素全为0，则该行列式值为0
3. 交换任意两行（列）的位置，行列式的值变号
4. 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为0
5. 行列式具有线性性，即：
   $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ b_1+c_1 & b_2+c_2& \cdots & b_n+c_n \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ b_1 & b_2& \cdots & b_n \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ c_1 & c_2& \cdots & c_n \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
   $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2}& \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{i1} & a_{i2}& \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
6. 如果行列式有两行（列）成正比，则行列式为0
7. 行列式某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式不变，即
   $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{p1} & a_{p2}& \cdots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{q1} & a_{q2}& \cdots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{p1} & a_{p2}& \cdots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{q1}+ka_{p1} & a_{q2}+ka_{p2}& \cdots & a_{qn}+ka_{pn} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
8. 设 $\bm A=(a_{ij})$ 是一个 $n$ 阶方阵，则称：
   $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
   为方阵 $\bm A$ 的行列式，记为 $|\bm A|$ 或 $det(\bm A)$。矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，即如果 $\bm A$， $\bm B$ 是两个同阶的方阵，那么 $|\bm{AB}|=|\bm A||\bm B|$。注意： $n$ 阶方阵和 $n$ 阶行列式是两个不同的概念，前者是 $n^2$ 个数按一定方式排成的一个数表，而后者是这个数表按一定的运算法则所计算的一个数。另外，由于行列式有 $n$ 行 $n$ 列，所以若矩阵 $\bm A$ 不是方阵，就不能对它取行列式

行列式展开

在 $n$ 阶行列式 $D=|a_{ij}|$ 中，去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列所剩下的 $n-1$ 阶行列式：
$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots && \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots && \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，通常记作 $M_{ij}$。余子式 $M_{ij}$ 与符号项 $(-1)^{i+j}$ 的乘积 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 叫做元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，通常记作 $A_{ij}$

$n$ 阶行列式 $D=|a_{ij}|$ 等于它的任意一行（列）的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和，即：
$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$

克拉默法则

如果线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ......... \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases}$
的系数行列式
$D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\ne 0$
那么该方程组有唯一解
$x_1=\frac{D_1}{D}, x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}$
其中 $D_i$ 是把 $D$ 中第 $i$ 列依次换成常数项 $b_1,b_2,...,b_n$ 后所成的行列式

参考文献

[1] 周盛林, 刘西民. 线性代数与解析几何. 高等教育出版社. 2012