问题：
使用Prim算法从以下图中构造最小树。
最小生成树：构造连通网的最小代价生成树—无回路，v个顶点一定有v-1条边，边的权重系数最小
算法实现思路：
Prim算法：每次在与树相邻接的点中选择权值最小的边，从一个小树慢慢长大
MST[]数组用来存储各顶点是否被收入，初始化为0，收入为1；dist[]数组用来表示各点到树的距离，树里的点为0,和树邻接的点为E(v,w)；parent[]为每一个顶点的前一顶点编号
第一步：初始化，从第u个顶点开始构造最小生成树，MST[u] = 1, 其他为0；dist[u] = 0,其他dist[v]=E(u,v)；u的邻接点w的parent[w]为u;其他为-1
第二步：进入主循环：从未收录的顶点中找到dist[]最小的v，将该点收入MST, distv] =0;如果这样的点不存在则退出循环
第三步：对于v的每个邻接点w，更新，如果dist[w]>E(v,w) dist[w]= E(v,w) ；parent[w] = v;
当循环完成后，如果（MST中收的顶点不到v个） 生成树不存在。
Prim算法代码实现
void MiniSpanTree_Prim(MGraph N,int u)
/*从u开始构造最小生成树*/
{
if (u > N.vexnum - 1)
return;
int dist[MaxSize];
int parent[MaxSize];
int MST[MaxSize];
int i, w, v;
int min;
/*初始化*/
for (v = 0; v < N.vexnum; v++)
{
dist[v] = N.arc[u][v].adj;
MST[v] = 0;
if (N.arc[u][v].adj < INFINITY)//u的临接点
parent[v] = u;
}
MST[u] = 1;//u收入MST
dist[u] = 0;
while (1)
{
v = u;
min = INFINITY;
for (w = 0; w < N.vexnum; w++)//从未收录中找到dist最小的
{
if (MST[w] == 0 && dist[w]<min)
{
v = w;
min = dist[w];
}
}
if (v == u)//则没有找到
break;
MST[v] = 1;//收录进MST
dist[v] = 0;
for (w = 0; w < N.vexnum; w++)//对于v的每个未收录的邻接点，更新他们到树的最短距离
{
if (N.arc[v][w].adj < INFINITY)
{
if(N.arc[v][w].adj<dist[w])
{
dist[w] = N.arc[v][w].adj;
parent[w] = v;
}
}
}
}
printf("输出最小树的各边:\n");
int cnt = 0;//定义一个计数器，来数MST收录的顶点个数
for (i = 0; i < N.vexnum; i++)
{
if (MST[i] == 1)
cnt++;
}
if (cnt < N.vexnum)
printf("生成树不存在\n");
else//打印生成树的各条边
{
for (i = 0; i < N.vexnum; i++)
{
if (i == u)//根结点
continue;
else
{
printf("%s---%s\n", N.vex[i], N.vex[parent[i]]);
}
}
}
}
完整测试代码
#include "pch.h"
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef char VertexType; //相当于VertexType 为char[4]
#define INFINITY 65535 //最大值
#define MaxSize 50 //最大顶点个数
typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}GrandKind;//有向图，有向网，无向图，无向网
typedef int VRType; //顶点关系类型，无权图用0或1，有权图，则为权值类型
typedef char InfoPtr;
typedef struct
{
VRType adj;//对于无权图用0或1表示，1表示相邻，0表示不相邻；对于带权值得图存储权值
InfoPtr * info;//该弧相关信息指针，与弧或边的相关信息
} ArcNode, AdjMatrix[MaxSize][MaxSize];
typedef struct //图的类型定义
{
VertexType vex[MaxSize][4];//相当于char[MaxSize][4],用于储存顶点
AdjMatrix arc; // 邻接矩阵，存储边或弧的信息
int vexnum, arcnum;//顶点数和弧的数目
GrandKind kind;//图的定义
}MGraph;
/*Dijkstra算法用*/
typedef int PathMatrix[MaxSize];//保存最短路径的数组
typedef int ShortPathLength[MaxSize];//定义一个保存从顶点到V的最短距离的数组
void CreateGraph(MGraph *N);
int LocateVertex(MGraph N, VertexType *v);
void DestroyGraph(MGraph *N);
void DisplayGraph(MGraph N);
void Dijkstra(MGraph N, int v0, PathMatrix path, ShortPathLength dist);//Dijkstra算法
void MiniSpanTree_Prim(MGraph N, int u);//Prim算法
void PrintPath(MGraph N, int v, PathMatrix path)//递归打印路径
{
/*if (v != 0)
{
printf("-%s", N.vex[path[v]]);
PrintPath(N, path[v], path);
}
else
return;*/
while (v!=-1)
{
printf("%s-", N.vex[v]);
v = path[v];
}
}
int main()
{
MGraph N;
int i,u;
printf("创建无向网：\n");
CreateGraph(&N);
DisplayGraph(N);
printf("输入根节点：\n");
scanf_s("%d", &u);
MiniSpanTree_Prim(N, u);
return 0;
}
void CreateGraph(MGraph *N)
//
{
int i,j,k,weight;
VertexType v1[4], v2[4];
printf("请输入有向网的顶点数和弧数（以逗号分开）：\n");
scanf_s("%d,%d", &(N->vexnum), &(N->arcnum));
printf("请输入%d个顶点的值（<%d个字符)\n", N->vexnum, MaxSize);
for (i = 0; i < N->vexnum; i++)//存储顶点
{
scanf_s("%s", N->vex[i],sizeof(N->vex[0]));
}
for (i = 0; i < N->vexnum; i++)// 初始化邻接矩阵
{
for (j = 0; j < N->vexnum; j++)
{
N->arc[i][j].adj = INFINITY;
N->arc[i][j].info = NULL;
}
}
printf("输入两个顶点和弧的权值（以空格隔开）：\n");
for (k = 0; k < N->arcnum; k++)
{
scanf_s("%s %s %d", v1,sizeof(4), v2,sizeof(4) ,&weight);
i = LocateVertex(*N, v1);//找到弧尾顶点的下标
j = LocateVertex(*N, v2);//找到弧顶顶点的下标
N->arc[i][j].adj = weight;
}
N->kind = DN; //类型为有向网
}
int LocateVertex(MGraph N, VertexType *v)
//定位
{
int i;
for (i = 0; i < N.vexnum; i++)
{
if (strcmp(N.vex[i],v)== 0)
return i;
}
return -1;
}
void DestroyGraph(MGraph *N)
//销毁邻接表
{
int i, j;
for (i = 0; i < N->vexnum; i++)
{
for (j = 0; j < N->vexnum; j++)
{
if (N->arc[i][j].info != NULL)
{
free(N->arc[i][j].info);
N->arc[i][j].info = NULL;
}
}
}
N->arcnum = N->vexnum = 0;
}
void DisplayGraph(MGraph N)
//显示邻接表
{
int i, j, k;
printf("输出网的结点和弧：\n");
printf("该网有%d个顶点，%d条弧\n",N.vexnum,N.arcnum);
printf("顶点依次是：");
for (i = 0; i < N.vexnum;i++)
{
printf("%s ", N.vex[i]);
}
printf("网：\n");
printf("i= ");
for (i = 0; i < N.vexnum; i++)
{
printf("%8d", i);
}
printf("\n");
for (i = 0; i < N.vexnum; i++)
{
printf("%8d", i);
for (j = 0; j < N.vexnum; j++)
{
printf("%8d", N.arc[i][j].adj);
}
printf("\n");
}
}
void MiniSpanTree_Prim(MGraph N,int u)
/*从u开始构造最小生成树*/
{
if (u > N.vexnum - 1)
return;
int dist[MaxSize];
int parent[MaxSize];
int MST[MaxSize];
int i, w, v;
int min;
/*初始化*/
for (v = 0; v < N.vexnum; v++)
{
dist[v] = N.arc[u][v].adj;
MST[v] = 0;
if (N.arc[u][v].adj < INFINITY)//u的临接点
parent[v] = u;
}
MST[u] = 1;//u收入MST
dist[u] = 0;
while (1)
{
v = u;
min = INFINITY;
for (w = 0; w < N.vexnum; w++)//从未收录中找到dist最小的
{
if (MST[w] == 0 && dist[w]<min)
{
v = w;
min = dist[w];
}
}
if (v == u)//则没有找到
break;
MST[v] = 1;//收录进MST
dist[v] = 0;
for (w = 0; w < N.vexnum; w++)//对于v的每个未收录的邻接点，更新他们到树的最短距离
{
if (N.arc[v][w].adj < INFINITY)
{
if(N.arc[v][w].adj<dist[w])
{
dist[w] = N.arc[v][w].adj;
parent[w] = v;
}
}
}
}
printf("输出最小树的各边:\n");
int cnt = 0;//定义一个计数器，来数MST收录的顶点个数
for (i = 0; i < N.vexnum; i++)
{
if (MST[i] == 1)
cnt++;
}
if (cnt < N.vexnum)
printf("生成树不存在\n");
else//打印生成树的各条边
{
for (i = 0; i < N.vexnum; i++)
{
if (i == u)//根结点
continue;
else
{
printf("%s---%s\n", N.vex[i], N.vex[parent[i]]);
}
}
}
}
程序截图：
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