Kernel PCA and De-Noisingin Feature Spaces
引
kernel PCA通过\(k(x,y)\)隐式地将样本由输入空间映射到高维空间\(F\)，那么问题来了，如何回来呢，即已知\(\Phi(x) \in F\)，如何找到其原像\(x\)呢？可是呢：
- 这个问题不一定有解，因为从低维空间往高维空间映射往往不是满射；
- 即便有解，这个也不一定唯一。
但是这个方面的应用还是蛮多的啊，PCA可以通过抛去一些方向(方差小的部分）来去噪声（虽然效果似乎不是很好），kernel PCA如果也要这么做的话，就会产生上面的问题。这篇文章就是提出了一种可行的方法来解决这个问题。
通过最小化下式：
\[ \min \limits_z \quad \rho (z)= \|\Phi(z) - \mathrm{P}_n \Phi(x)\|^2 \]
其中\(\mathrm{P}_n(\cdot)\)是投影算子——将向量投影至由前n个特征向量构成的子空间之中。
主要内容
在化简上式之前，需要先进行一些必要的符号说明：
\[ V^k = \sum \limits_{i=1}^l \alpha_i^k \Phi(x_i) \]
为第k个特征向量（F空间中的）,其中\(l\)为样本个数（沿用了论文的符号）。
定义：
\[ \beta_k = (V^k\cdot \Phi(x))=\sum \limits_{i=1}^l \alpha_i^k k(x, x_i) \]
那么：
\[ \mathrm{P}_n \Phi(x) = \sum_{i=1}^n \beta_k V^k \]
现在，我们可以展开\(\rho(z)\):
其中\(\Omega\)为与\(z\)无关的项，通过梯度下降可以获得\(z\)。
如果我们假设\(k(x,y)=k(\|x-y\|^2)\)，即\(k(x,x)\)为常数，则:
其中\(\Omega'\)为与\(z\)无关的项，\(\gamma_i = \sum_{k=1}^n \beta_k \alpha_i^k\)
容易计算其梯度为(差个常数2）：
\[ \nabla_z \rho(z) = \sum \limits_{i=1}^l \gamma_i k'(\|z-x_i\|)(z-x_i) \]
令其为0，得到一个必要条件：
\[ z = \frac{\sum \limits_{i=1}^l \delta_i x_i}{\sum \limits_{i=1}^l \delta_i} \]
其中\(\delta_i = \gamma_i k'(\|z-x_i|^2\)
一个例子就是高斯核，这时:
选取一个合适的起始点（分母不为0），可以通过下式来迭代：
这么来想，一般的迭代方法是：
\[ z_{t+1} = z_t - \eta \nabla \rho(z_t) \]
令\(\eta=1 / \sum_{i=1}^l \delta_i\)即可得（10），我不知道这么做是否有别的深意。