N皇后问题（回溯做法）

题目描述

相信大家都听过经典的“八皇后”问题吧？这个游戏要求在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使8个皇后互相不攻击（攻击的含义是有两个皇后在同一行或同一列或同一对角线上）。

桐桐对这个游戏很感兴趣，也很快解决了这个问题。可是，他想为自己增加一点难度，于是他想求出n皇后的解的情况。

你能帮助她吗？

输入输出格式

输入格式：

一行，仅有一个数n（1≤n≤14），表示为n皇后问题。

输出格式：

输出仅有一个数，表示n皇后时问题的解法总数。

输入输出样例

输入样例：

输出样例：

首先我们想到用二维数组做，但是二维数组肯定会超时，所以我们用降维做法，

注：（没有用对称的代码）：

没有运用对称必超时
可能13皇后都过不了.....

　　#include<iostream>
　　using namespace std;
　　int q[100][100],box,n;
　　void queen(int k)
　　{
　　　　if(k>n)
　　　　{
　　　　　　box++;
　　　　　　if(box>3) return;
　　}
　　for(int i=1;i<=n;i++)
　　{
　　　　　if(q[0][i]==0&&q[1][k+i]==0&&q[2][k-i+n]==0)
　　　　　{
　　　　　　　　q[0][i]=1;
　　　　　　　　q[1][k+i]=1;
　　　　　　　　q[2][k-i+n]=1;
　　　　　　　　queen(k+1);
　　　　　　　　q[0][i]=0;
　　　　　　　　q[1][k+i]=0;
　　　　　　　　q[2][k-i+n]=0;
　　　　　　}
　　　　}
　　}
　　int main()
　　{
　　　　cin>>n;
　　　　queen(1);
　　　　cout<<box;

　　return 0;
　　}

原先在棋盘上(1,1)位置有棋子，就把数组q[1][1]标记为1
然后我们可以吧它改为(1,1)有棋子就把q[1]标记为1，这样可以减少时间复杂度，
13皇后可以压线过
然后我们再优化，用数组计数，我们发现，第i行的棋子会在第x+ix+i条正对角线上，
会在第x?i+nx?i+n条反对角线上，就用数组计数，每访问一次这个对角线，就把它标记为1，
即可减少超时
可是这个做法对于14皇后还需要大约两秒，
我们再优化。
发现这个棋盘具有对称性，以4皇后为例，举例如下
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
如果这个做法可行，那么下列做法
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
也是可行的，所以第一行只需要放到(n+1)/2(n+1)/2就可以了
至此，基本可以吧14皇后优化至1秒内

以下为优化代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int q[10][100],box,n;
void queen1(int k)
{
    if(k>n)
    {
        box+=2;
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(q[0][i]==0&&q[1][k+i]==0&&q[2][k-i+n]==0)
        {
            q[0][i]=1;
            q[1][k+i]=1;
            q[2][k-i+n]=1;
            queen1(k+1);
            q[0][i]=0;
            q[1][k+i]=0;
            q[2][k-i+n]=0;
        }
    }
}
void queen2(int k)
{
    if(k>n)
    {
        box+=2;
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n/2;i++)
    {
        if(q[0][i]==0&&q[1][k+i]==0&&q[2][k-i+n]==0)
        {
            q[0][i]=1;
            q[1][k+i]=1;
            q[2][k-i+n]=1;
            queen1(k+1);
            q[0][i]=0;
            q[1][k+i]=0;
            q[2][k-i+n]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n/2;i++)
    {
        q[0][i]=1;
        q[1][i+1]=1;
        q[2][1-i+n]=1;
        queen1(2);
        q[0][i]=0;
        q[1][i+1]=0;
        q[2][1-i+n]=0;
    }
    if(n%2==1)//当n为奇数时 
    {
        q[0][n/2+1]=1;
        q[1][(n/2+1)+1]=1;
        q[2][1-(n/2+1)+n]=1;
        queen2(2);
    }
    cout<<box;
    
    return 0;
}