c语言或者cpp中位运算的技巧

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简述

在知乎上看到一个题目，解答很有意思，用的是位运算。
这让我觉得位运算有更多的算法可能，但是却还没被我用过。
这种东西都是第一次看，觉得挺牛的，第二次，第三次看的时候就觉得没什么了。So，大佬们轻喷。

基础

涉及到二进制运算，如下：

• & | ^ 三种运算，分别对应着交，并，异或
  • 交：两个对应位都是1，则为1，否则为0
  • 并：两个对应位只有一个是1，则为1，否则为0
  • 异或：两个对应位相同则为0，不同则为1
• >> 往右移动，箭头相反则为往左移动

这就是所有二进制的运算了。但就是由这里的这些推导出了很多有趣的运算范式。这些范式也可以称之为基础。

• A为任何数，
  • 0 & A = 0
  • 0 | A = 0
  • 0 ^ A = A
  • A ^ A = 0

第三条需要解释下：二进制只有0或者1。0的二进制任何位置都是0。A的数，任何一个位置。如果是1，则1和0不同，该位置还是1。如果该位置为0，则0和0相同，该位置还是0。故不变

• 明显，三则运算满足交换律和结合律。

这个验证简单，画个表就知道了。只需要考虑任取一个位置，画对应的表就好了。

• 交换：A，B两个数交换
  • A = A ^ B
  • B = A ^ B
  • A = A ^ B
  • 就完成交换了。

这种交换方式也是非常基础的acm东西。如果解释也是非常简单的。（注意，下面的表达式中， 每个表达式的第一个均为赋值的意思，后面的等号就是相等的意思）

• 第一步：A = A ^ B
• 第二步实际上为：B = (A ^ B) ^ B，再由交换律和结合律，变为 B = A ^ (B ^ B) = A ^ 0 = 0 ^ A = A
• 第三步实际上为：A = (A ^ B) ^ A， （原来这里的B已经是实际上的A了），同样的， A = B。

扩展应用

数字去重

这个就是我之前说的，看到了那篇文章：https://www.zhihu.com/question/33776070/answer/703697146?utm_source=wechat_session&utm_medium=social&utm_oi=806197504654839808

这里说的去重，是

• 把重复两次（或者是偶数次）的那些数字给去掉。
• 而且数据集中只能有一个只出现一次的数字。

（应该是个相当naive的问题了）

这种问题，由于约束比default的版本更多，所以说，才可以用上这个答主给的那个版本的代码。

例如：

• 数据集为 1 2 3 4 5 1 2 3 4, 那么我们要找到这个5
• 其他实例为： 1 2 3 1 2 要找到 3。这里只会有一个目标数字，且每个数字的重复都只有一次。
  • 1 2 1 2 1 2 3 这样的数据就不行了。
  • 1 2 3 1 2 4 这样的数据集，就需要改进了。这个改进回答也有，但我嫌弃他解释的太麻烦。

方法： 异或

1^2^3^4^5^1^2^3^4 = (1^1)^(2^2)^(3^3)^(4^4)^5 = 0 ^ 5 = 5

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	int a[] = { 1,2,3,4,5,1,2,3,4};
	int tmp = a[0];
	for (int i = 1; i < 9; ++i)
		tmp ^= a[i];
	cout << tmp << endl;
	system("pause");
}

去重改进

如上所说，可以改进到

• 把重复两次（或者是偶数次）的那些数字给去掉。
• 而且数据集中只能有两个只出现一次的数字。（且只能有两个）

标准数据是：1 2 3 1 2 4

• 回忆下上一个：
  • 其实我们这得到的就是第一步得到的 A ^ B
  • 那想把A或者B提取出来。按照知乎那哥们那么说也是可以的。但是真的是麻烦
  • 简单点： A ^ (A ^ B) = B。且异或运算也是唯一性的。给一个数组，设置为空。
    • 遍历：拿到第i个数，是否已经在上面新建的数组中了，在则这个数就是我们想要的，否者，将 这个数和A^B做异或的数值存下来。

如下：

• 注意到：这个时间复杂度是 $n^2$的。（知乎上那个也是 $n^2$），但他那个不好降低。
  • 优化，通过哈希的方式来降低时间复杂度。也可以使用平衡二叉树。或者是平衡二叉树和哈希的结合。
  • 平衡二叉树的，插入，删除，查找都是 $log(n)$的。因此也不复杂度就被降到了O(nlogn)

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	int a[] = { 1,2,3,1,2,4 };
	int b[] = { 0,0,0,0,0,0 };
	int tmp = a[0], i, j;
	for (i = 1; i < 7; ++i)
		tmp ^= a[i];
	for (i = 0; i < 7; ++i) {
		for (j = 0; j < i; ++j) { if (b[j] == a[i]) { cout << a[i] << " " << (tmp ^ a[i]) << endl;  break; } }
		if (j != i) break;
		b[i] = tmp ^ a[i];
	}
	system("pause");
}

如果以后想到再继续补充吧