生成函数小练

T1

HDU1028 Ignatius and the Princess III

题意

求将n拆分成若干整数的方案数。

思路

我们依然考虑用生成函数x^n的系数表示选取的方案数，那么生成函数的每一个乘项的每一项的次方数就代表这个数字是几。我们考虑对于每一个数字，他可以构成的数作为数列建立生成函数，可以列出柿子
$(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^3+x^6+x^9+...)...$
这个东西即使化简了也是很难算的，多项式乘法FFT，n这么小直接暴力O(n^3)啊

代码

#include <cstdio>
using namespace std;
int a[500],b[500],n;
int main()
{
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for (int i=0;i<=n;i++) a[i]=1,b[i]=0;
        for (int i=2;i<=n;i++)
        {
            for (int j=0;j<=n;j++)
              for (int k=0;k<=n;k+=i)
                b[j+k]+=a[j];
            for (int j=0;j<=n;j++) a[j]=b[j],b[j]=0;
        } 
        printf("%d\n",a[n]);
    }
}

T2

HDU1398 Square Coins

题意

求将n划分成若干个完全平方数的方案数。

思路

依旧沿袭上一个题目的思路，只不过现在不是所有数字都能用了，只有平方数才能用，我们预处理出平方数，用数列表示：光用这一个数字能不能凑出来，跟上个题一样，不写了

T3

HDU1085 Holding Bin-Laden Captive!

题意

有a个1，b个2，c个5，问最小的无法组合出的数。

思路

看到题面的我就是一激灵，NOIP的惨案。。
这个生成函数是个有限数列了
$(1+x+x^2+...+x^a)(1+x^2+x^4+...+x^{2b})(1+x^5+x^{10}+...+x^{5c})$
那么我们O(n^2)暴力展开看看哪个系数是0就好了

T4

HDU1171 Big Event in HDU

题意

有n种东西，每一个的权值为v，有m个。将这些东西分成两拨，让权值和尽量接近。

思路

我们根据套路列出柿子，指数是价值，数列是这个价值可以凑出的数
$(1+x^{v_1}+x^{2v_1}+...+x^{m_1v_1})(1+x^{v_2}+x^{2v_2}+...+x^{m_2v_2})...$
然后求出系数之后从总价值/2开始找，距中点最近的且系数不为0的价值
事实上只需要运行到总价值/2的位置就好了，时间复杂度O(n m sum)
但是因为sum是一点点累加的所以并不会T？！

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[300000],b[300000];
int main()
{
    int n;
    while (scanf("%d",&n) && n>0)
    {
        int sum=0,v,m; scanf("%d%d",&v,&m);
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));sum=v*m;
        for (int i=0;i<=m*v;i+=v) a[i]=1;
        for (int i=2;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&v,&m);
            for (int j=0;j<=sum;j++)
              for (int k=0;k<=m*v;k+=v) b[j+k]+=a[j];
            sum+=v*m;
            for (int j=0;j<=sum;j++) a[j]=b[j],b[j]=0;
        }
        for (int i=sum/2;i>=0;i--)
          if (a[i]) {printf("%d %d\n",sum-i,i);break;}
    }
}