[图上贪心] SEUOJ101 数学建模

有n个地区需要供电,一个地区通电的充要条件是要么在这个地区建立一座发电站,要么通过高压电线或高压电线组成的路径连向其他已通电的地区.
在地区i建立发电站的花费是Wi,在地区i与地区j之间建立高压电线的花费是Pij.
读入n(<=300),Wi,Pij.
求出最少花费使所有地区都通上电.

题目链接: https://oj.seucpc.club/problem/101

算法

把n个地区看成n个点,然后图上贪心,每次迭代要么建立一座发电站(确定一个点),要么建立一条高压电线(确定一条边),O(n)次迭代后得到最终方案,下面我们会看到每次迭代的代价是O(nlogn),所以算法总的时间复杂度是O(n²logn).

初始时,所有点都是未定点,被确定了一定建站或一定不建站的点成为已定点.设未定点集合A,已定点集合B.构造边集E={(a,b)|a∈A,b∈B}.
首先选取全局点权最小的点建站,更新A,B,E.

接下来循环迭代:
取A中权最小的点a,取E中权最小的边e.
若cost_a<cost_e,则在a点建站,否则沿e建高压电线同时a点一定不建站.

根据定义,E非空<=>A非空.所以当A或E为空时,停止迭代.

正确性

下面证明每次迭代做出的决策都是正确的:
①若cost_a<cost_e但最终不在a点建站,那么最终方案里,a点一定通过某一条路径连向某个建站点x,若x∈B,那么x-a的路径上一定存在一条边y∈E,且cost_y>cost_e>cost_a,那么不妨删去边y并在a建站.
②若cost_a>cost_e但最终不沿e建高压电线,那么最终方案里,a点一定通过某一条路径连向某个建站点x,若x∈A,不妨在a建站x不建站,而这样不如沿e建高压电线.
其他未提到的分支都容易验证是正确的.