1.递归的基本思想
- 所谓递归，就是有去有回。
- 递归的基本思想，是把规模较大的一个问题，分解成规模较小的多个子问题去解决，而每一个子问题又可以继续拆分成多个更小的子问题。
- 最重要的一点就是假设子问题已经解决了，现在要基于已经解决的子问题来解决当前问题；或者说，必须先解决子问题，再基于子问题来解决当前问题。
- 或者可以这么理解：递归解决的是有依赖顺序关系的多个问题。
我们假设一个抽象问题有两个时间点要素：开始处理，结束处理。那么递归处理的顺序就是，先开始处理的问题，最后才能结束处理。
假设如下问题的依赖关系：
- 【A】----依赖---->【B】----依赖---->【C】
- 我们的终极目的是要解决问题A，
- 那么三个问题的处理顺序如下：
- 开始处理问题A；
- 由于A依赖B，因此开始处理问题B；
- 由于B依赖C，开始处理问题C；
- 结束处理问题C；
- 结束处理问题B；
- 结束处理问题A。
2.从函数调用看广义递归
- 对于软件来说，函数的调用关系就是一个广义递归的过程，如下，
func_A()
{
func_B();
}
func_B()
{
func_C();
}
func_C()
{
/////
}- 调用函数A；
- 调用函数B；
- 调用函数C；
- 函数C返回；
- 函数B返回；
- 函数A返回；
3.狭义递归函数
- 有一种特例，就是处理问题A/B/C的方法是一样的，这就是产生了狭义的“递归函数“，即函数内又调用函数自身。
- 从上述分析看，递归对问题的处理顺序，是遵循了先入后出（也就是先开始的问题最后结束）的规律。
- 先入后出？栈！
- 没错，广义递归问题的处理，需要用栈来解决。经典的例子就是函数调用，就是依靠栈来实现的。
4.递归函数的非递归化
- 现在再来深入分析一下狭义的递归函数（也就是函数调用自身）。
- 我们知道递归函数存在的最大问题是，当递归次数足够大时，会导致函数栈溢出而死机，函数栈的大小一般是一个固定值，对于linux来说一般默认是8M。
- 因此，编程老司机会教导我们，不得用递归函数！但递归函数的代码实现实在是简洁啊，不让用？臣妾做不到啊！
- 那么问题来了，所有递归函数都能非递归化吗？答案是肯定的。
- 本质上讲，对于同一个问题，如果必然要用广义递归的方案来处理，那么狭义递归函数只不过是其中的一种实现方式，如果放弃狭义递归函数的话，我们不得不借助一个额外的数据结构：栈。
- 如此看来，无论如何都要用到栈，只不过要么让编译器来维护一个栈（函数栈），要么让程序狗来维护一个栈（数据栈）。
- 这两个栈的区别如下：
- 举例说明：二叉树的非递归遍历
5.非递归算法的递归化
- 既然递归算法可以用数据栈来进行非递归化，那么借助数据栈而实现的非递归算法，理论上也可以被递归化。也就是说，两者是可逆的，桥梁就是栈。
6.C语言中常说“局部变量在栈上分配空间”，那么这个地方的栈和栈数据结构有关系吗?
- 程序中的“函数调用栈”是栈数据结构的一种应用
- 函数调用栈一般是从高地址向低地址增长的
- 栈底为内存的高地址处
- 栈顶为内存的低地址处
- 函数调用栈中存储的数据为活动记录（活动记录是函数调用时一系列相关信息的记录）。
7.函数调用过程
8.程序中的栈
- 程序中的栈空间可看做一个顺序栈的应用，程序栈空间的访问是通过函数调用进行的，程序栈空间仍然遵从后进先出的规则
- 栈保存了一个函数调用所需的维护信息
- 函数参教，函数返回地址
- 局部变量
- 画数调用上下文
- 什么是程序的栈溢出？
- 在不断的压栈过程中造成栈空间耗尽而产生栈溢出
- 栈溢出常由于函数递归过深或局部数组过大造成
9.以下三种情况常常用到递归方法：
- 递归定义的数学函数
- 阶乘函数:
- 二阶Fibonaci数列：
- 阶乘函数:
- 具有递归特性的数据结构:
- 树 ：
- 广义表： A=(a,A)
- 树 ：
- 可递归求解的问题:
- 迷宫问题 Hanoi塔问题
10.用分治法求解递归问题
- 分治法：对于一个较为复杂的问题，能够分解成几个相对简单的且解法相同或类似的子问题来求解。
- 必备的三个条件：
- 1、能将一个问题转变成一个新问题，而新问题与原问题的解法相同或类同，不同的仅是处理的对象，且这些处理对象是变化有规律的
- 2、可以通过上述转化而使问题简化
- 3、必须有一个明确的递归出口，或称递归的边界。
- 分治法求解递归问题算法的一般形式：
- void p (参数表) {
- if （递归结束条件）可直接求解步骤；-----基本项
- else p（较小的参数）；------归纳项
}