图论——根树

一、根树概念

$\quad$一棵非平凡的有向树T，如果恰有一个顶点的入度为0，而其余所有顶点的入度为1，这样的的有向树称为根树。其中入度为0的点称为树根，出度为0的点称为树叶，入度为1，出度大于1的点称为内点。又将内点和树根统称为分支点。
$\quad$对于根树T，若每个分支点至多m个儿子，称该根树为m元根树；若每个分支点恰有m个儿子，称它为完全m元树。

二、重要定理和性质

1、在完全m元树T中，若树叶数为t , 分支点数为i , 则： $(m-1)i=t-1$。
证明：树边数 $m(T) = (i+t)-1$，由握手定理，可得 $2m(T)=根度数m+t个叶子节点度数和t+(i-1)个中间节点度数(i-1)(m+1)=t+m+(i-1)(m+1)$，联立上面两等式可得结论。

三、最优二元树

$\quad$设T是一棵二元树，若对所有t片树叶赋权值 $w_i(1≦i≦t)$,且权值为wi的树叶层数为 $L(w_i)$,称： $W(T)=\sum_{i=1}^t w_iL(w_i)$为该赋权二元树的权。而在所有赋权为 $w_i$的二元树中W(T)最小的二元树称为最优二元树。