盘点那些影响人类发展的伟大式子(持续更新)

$\Large\fbox{\textcolor{red}{在（持续更新）删除前，禁止转载}}$
$\Large\fbox{\textcolor{red}{No reprint is allowed until (continued update) is deleted.}}$

1+1=2

$\Large1+1=2$

勾股定理

$\Large a^2+b^2=c^2$

质能方程

$\Large E=mc^2$
意义：
一、即使是静止的物体也有其固有的能量。能量的形式有很多种，包括机械能、化学能、电能以及动能。这些都是运动或者反应物体的固有能量，它们可以用于做功，比如推动一个发动机，点亮一个灯泡，或者把谷物磨成面粉。但即使是静止的普通物体也具有固有能量，并且这是一个非常巨大的能量。这强烈暗示着，在牛顿的宇宙中，两个物体之间的万有引力都应该以能量为基础，这种能量等价于 $E=mc^2$的质量。
二、质量可以转化成纯能量。质能方程告诉我们，每一千克的质量可以转化为 $9×10^{16}$焦耳的能量，这相当于2100万吨的TNT爆炸所释放出的能量。在放射性衰变、核聚变或核裂变过程中，最初参与反应的质量会大于最终的质量，质量守恒定律是无效的，减少的质量被转化为能量。从衰变的铀到裂变式原子弹，再到太阳的核聚变，再到物质和反物质的湮灭，都遵循质能方程。
三、能量可以从虚无中产生质量。第三个意义最为深远。如果把两个台球碰撞在一起，结果还是两个台球。如果把一个光子和电子碰撞在一起，结果得到的还是光子和电子。但如果用足够高的能量把一个光子和电子碰撞在一起，结果会得到一个光子、一个电子、一对新的物质-反物质粒子。也就是说，结果会产生两个新的大质量粒子：一个是像电子、质子、中子一样的物质粒子，另一个是像正电子、反质子、反中子一样的反物质粒子。只有当碰撞的能量足够高时，才会产生这些粒子。诸如大型强子对撞机（LHC）等粒子加速器就是通过从纯能量中制造出新的粒子，来寻找那些理论预言中的不稳定高能粒子。事实上，宇宙中的一切物质就是从大爆炸中的能量创造出来的。

牛顿-莱布尼茨公式

$\Large\int_a^bf(x)dx=F(b) - F(a)$
牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

欧拉乘积公式

$\Large\sum_n\frac{1}{n^s}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$

素数定理&素数公式

$\Large Li(x) = \int_0^x\frac{1}{\ln(t)}dt$
$\Large\pi(x)\backsim Li(x)$

黎曼函数

$\Large\zeta(s)=\frac{1}{2\pi i}\varGamma(1-s)\oint_r\frac{z^{s-1}e^{z}}{1-e^z}dz$
从这个式子黎曼提出了黎曼猜想并且基于成立的条件下，他推倒出了准确的 $\pi(x)$的表达式：
$\Large\pi(x)=\sum_n\frac{\mu(n)}{n}J(\sqrt[n]{x})$
$\Large J(x)=Li(x)-\sum_\rho Li(x^{\rho})-\ln2+\int^{\infty}_{x}\frac{dt}{t(t^2 - 1)\ln t}$
$π(x)$: 素数计数函数。它给出了不大于一个给定数的素数个数。例如，π(6)=3，因为有3个素数不大于6：2，3，5。
$μ(n)$: 莫比乌斯函数。它依据n的质因数分解而取值为0， -1或1。
$Li(x)$: 对数积分函数。
$ρ$: 黎曼 $ζ$函数的任意非平凡零点。

高斯积分

$\Large\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$
函数 $e^{-x^2}$本身在积分中是很难对付的。可是当我们对它在整个实数轴上积分，也就是说从负 无穷到正无穷时，我们却得到了一个十分干净的答案。至于为什么曲线下面的面积是π的平方根，这可不是一眼就能看出来的。
由于这个公式代表了正态分布，它在统计中也十分重要。

阶乘函数的解析延拓

$\Large n!=\int^{\infty}_0x^n e^{-x}dx$

万有引力公式

$\Large F=\frac{G\cdot M_1\cdot M_2}{R^2}$
$\large G\approx 6.67\times 10^{-11}N \cdot m^2/kg^2$
牛顿并不是发现了重力，他是发现重力是「万有」的。每个物体都会吸引其他物体，而这股引力的大小只跟物体的质量与物体间的距离有关。牛顿的万有引力定律说明，每一个物体都吸引着其他每一个物体，而两个物体间的引力大小，正比于这它们的质量，会随著两物体中心连线距离的平方而递减。牛顿为了证明只有球形体可把「球的总质量集中到球的质心点」来代表整个球的万有引力作用的总效果而发展了微积分。然而不管距离地球多远，地球的重力永远不会变成零，即使你被带到宇宙的边缘，地球的重力还是会作用到你身上，虽然地球重力的作用可能会被你附近质量巨大的物体所掩盖，但它还是存在。不管是多小还是多远，每一个物体都会受到引力作用，而且遍布整个太空，正如我们所说的「万有」。

扫描二维码关注公众号，回复： 6794336 查看本文章

普朗克公式

$\Large u(\lambda,T)=\frac{8\pi \ hc}{\lambda^5}\cdot\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}$
就普朗克常数h的意义，物理学家金斯曾说过这样一段话：“虽然 $h$的数 值很小，但是我们应当承认它是关系到保证宇宙的存在的.如果说 $h$严格地等于零，那么宇宙间的物质能量将在十亿万之一秒的时间内全部变为辐射。普朗克常数引入后，以普朗克常数为根本特征的量子论给我们提供了新的关 于自然界的表述方法和思考方法，物理学理论发生了巨大变革，使人类认识 由低速宏观领域扩展到高速微观领域.h的提出引出了一系列解释性假说， 促进了量子论的建立与推广，为原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学奠定了理论基础，并且这些科研成果在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用.可以说, $h$的出现具有划时代的重大意义

柯西

柯西不等式

$\Large\sum_{i=1}^na_i^2\sum_{i=1}^nb_i^2\geq\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2$
柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中非常重要，是高等数学研究内容之一。

柯西积分公式

$\Large\begin{aligned} f(z_0)&=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz \\ f(z)&=f(\infty)-\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta \end{aligned}$
柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理；他刻画了解析函数的又一种定义；人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数。通过柯西积分公式就可以把解析函数 $f(z)$在简单闭曲线 $C$的内部任意一点处的值边界 $C$上的值表示。这是解析函数的又一特征。柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式，从而是研究解析函数的有力工具。

德布罗意方程组

$\Large p=ħk=\frac{h}{λ}$
$\Large E=ħw=hv'$
这个东西也挺牛B的，高中物理学到光学的活很多概念跟它是远亲。简要地说，德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有 “波长”。于是搞啊搞，就有了这个物质波方程（属于量子物理的范畴），它表达了波长、能量…等之间的关系。同时他也获得了1929年的诺贝尔物理学奖。

傅里叶变换

$\Large F(\omega)=\digamma[f(t)]=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$

这个挺专业的，一般人完全不明白。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。简要地说，没有这个式子就没有今天的电子计算机，所以，你能在这里上网除了感谢党和政府外还要感谢这个完全看不懂的式子。傅立叶虽然姓傅，但他是法国人。

薛定谔方程

一维薛定谔方程

$\Large-\frac{\hbar}{2\mu}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+U(x,t)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}$

三维薛定谔方程

$\Large-\frac{\hbar}{2\mu}\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}\right)+U(x,y,z)\Psi=i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}$

定态薛定谔方程

$\Large-\frac{\hbar}{2\mu}\nabla^2\Psi+U\Psi=E\Psi$
薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数 $Ψ$ $（x,t）$，即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当，超弦理论试图统一两种理论。

牛顿第二定律

$\Large F\propto ma$
物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比；加速度的方向跟作用力的方向相同。牛顿第二运动定律定量地说明了物体运动状态的变化和对它作用的力之间的关系，和牛顿第一运动定律、牛顿第三运动定律共同组成了牛顿运动定律，是力学中重要的定律，是研究经典力学的基础阐述了经典力学中基本的运动规律。动力学的所有基本方程都可由它通过微积分推导出来。

麦克斯韦方程组

积分形式的麦克斯韦方程组

$\Large \begin{aligned} \oint_{l} H \cdot dl&=\int_{S} J \cdot d s+\int_{s}\frac{\partial D}{\partial t} \cdot d s \\ \oint_{l} E \cdot d l &=-\frac{\mathrm{d}}{d t}\int_{s} B \cdot d s \\ \oint_{s} B \cdot d s&=0 \\ \oint_s D \cdot d s&=\int_{S} \rho d v \end{aligned}$

微分形式的麦克斯韦方程组

$\Large\begin{aligned} \nabla\times\boldsymbol{H}&=\boldsymbol{J}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial \mathrm{t}} \\ \nabla \times \boldsymbol{E}&=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial \mathrm{t}} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}&=0 \\ \nabla \cdot \boldsymbol{D}&=\rho \end{aligned}$
这个东东不解释，太过复杂，你就知道它很重要就行了。

泰勒公式

$\Large f(x)=\frac{f(a)}{0 !}+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+R_{n}(x)$

麦克劳林公式

$\Large f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3 !} x^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1}$
麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。