Tarjan无向图的割点和桥(割边)
导言
在掌握这个算法前,咱们有几个先决条件.
- [x] DFS搜索
- [x] DFS序
- [x] 一张纸
- [x] 一支笔
- [x] 认真的大脑
(滑稽)
如果您都具备了,那么您就是巨佬了,您就可以轻松解决Tarjan算法了.
初学算法
概念掌握
割点
概念定义什么的,看上去好烦好烦好烦的,怎么办呢?
Acwing小剧场开播了,门票一枚AC币.
现在Acwing推出了一款战略游戏,名为Tarjan无向图的割点和桥.
贪玩Tarjan,介个是泥从未丸过的船新版本.
整个游戏,由\(N\)个岛屿构成,而且有\(M\)条航线联络着这些岛屿.
我们发现熊熊助教和y总这两个点非常重要,是整张地图的核心战略要塞.
假如说缺少了任意一个点,我们发现总会有两个岛屿,不能联系了.
因此我们得出了,核心战略要塞,就是交通联络点.
所以这些点要重要中药保护,避免被破坏,
因此我们把这些要重要保护的点,也就是交通联络点,称之为割点.
| 概念 | 定义 |
|---|---|
| 割点 | 删掉这个点和这个点有关的边,图就不是连通图,分裂成为了多个不相连的子图 |
割边
同样的有核心战略要塞,也就会有黄金水道.
什么是黄金水道呢?
难道是航运量大的航道?
不不不不,这个概念不一样.
如果说黄金水道被破坏了,那么将会有两个和两个以上的岛屿,不能够通航连接了.
比如说,熊熊助教和y总连接的一条航道.
还有熊熊助教和song666连接的航道.
这就是我们的黄金水道,也就是战略航道.
因此我们给这些战略航道定义为桥(割边).
| 概念 | 定义 |
|---|---|
| 桥 | 删除这条边后,图就不是连通图,分裂成为多个不相连的子图. |
时间戳
其实啊,我们完全可以给这些岛屿们编号.这样便于管理,有利于愉悦身心健康.
因此我们得出了下面这张图片.
我们发现删除了一些多余的边,然后每个点多了一个学号.
其实我们的学号,就是每一个节点的时间戳.
什么是时间戳,就是每一个点的学号.
但是这个学号是怎么来的呢?总不能是一顿瞎排的吧.
其实这个学号,就是我们的DFS序,刚开始我们任意选择一个点开始,然后一次深度优先搜索,每新搜索到一个点后,就给这个点标记一个学号.
然后来一个gif动画看一看.
因此时间戳的定义我们就知道了.
| 概念 | 定义 |
|---|---|
| 时间戳 | \(dfn[x]\)表示节点x第一次被访问的编号. |
这就是时间戳的概念,其实就是学号编辑的过程.
追溯值
追溯,追溯,就是寻找一个节点,以他为根,可以抵达的最小学号.
我们设置一个小概念
\[ subtree(x)表示搜索树中以x节点为根的子树节点集合. \]
比如说我们举一个例子.
这些红色标记节点,其实也就是熊熊助教的搜索树.
因此我们得出.
\[ subtree(熊熊助教)=(熊熊助教,song666,秦淮岸,Chicago) \]
那么我们设置一下追溯值数组.
\[ low[x]定义为以下节点的时间戳的最小值. \]
- \(subtree(x)\)中的节点
- 通过\(1\)条不在搜索树上的边,能够抵达\(subtree(x)\)中的节点.
这个第一条我们上面解释过了,那么第二条怎么解释呢,还是一样,我们再来一个解释gif.
判定法则
暂无,明天补充.今天的gif太累了.