一本通 1633：【例 3】Sumdiv

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今天早上考试考了这道题

题意：求\(A^{B}\)所有约数之和%9901的结果。

思路：[暴力]快速幂+线性判约数再求和，30分。

[正解]看到求约数之和，很自然想到唯一分解定理，对于正整数N， N = \(a_1^{b_1}a_2^{b_2}\dots a_n^{b_n}\) 而言，它的约数之和为\((1+a_1+a_1^2+\dots +a_1^{b_1})(1+a_2+a_2^2+\dots + a_2^{b_2})\dots (1+a_n+a_n^2+\dots +a_n^{b_n})\)
而\(A^B\)只需将一直加到\(a_i^{b_{i}* B}\)即可。直接暴力求上述多项式的解似乎有50分。

接着考虑优化，不难看出对于每一个多项式，都是一个等比数列的和，即\(1+a_i+a_i^2+\dots +a_i^{b_i} = \frac{a_i^{bi+1}-1}{a_i-1}\)， 所以\(1+a_i+a_i^2+\dots +a_i^{b_i} \equiv \frac{a_i^{bi+1}-1}{a_i-1}\)(mod p)，那么这里我们只需要求出\(a_i^{b_i+1}-1\)以及\(a_i-1\)在%p下的逆元即可。逆元这里可以用费马小定理求。（我也不晓得为什么递推求会WA掉几个点）

对了，如果\(a_i-1\)恰好是p的倍数怎么办呢？这种情况下逆元是不存在的。但是由于\(a_i-1 \equiv 0\)(mod p), 那么\(a_i \equiv 1\)(mod p),这样一来\(1+a_i+a_i^2+\dots +a_i^{b_i} \equiv 1+1+1+\dots + 1\)(mod p), 即\((b_i+1)\)%p.

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Code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
//Mystery_Sky
//
#define M 5000101
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define Mod 9901
inline ll read()
{
    ll x=0, f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
ll A, B;
ll prime[M], tot, check[M], inv[M], cnt;
ll a[M], b[M];

inline void get_inv()
{
    inv[1] = 1;
    int p = Mod;
    for(int i = 2; i <= a[cnt]; i++) {
        inv[i] = ((p-p/i) * inv[p%i]) % p;
        //printf("%d ", inv[i]);
    }
}

inline ll quick_pow(ll x, ll k)
{
    ll ret = 1;
    while(k) {
        if(k & 1) ret = (ret * x) % Mod;
        k >>= 1;
        x = (x * x) % Mod;
    }
    return ret % Mod;
}

int main() {
    A = read(), B = read();
    ll n = A;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if(n % i == 0) {
            a[++cnt] = i;
            while(n % i == 0) {
                n /= i;
                b[cnt]++;
            }
        }
    }
    if(n > 1) a[++cnt] = n, b[cnt] = 1;
    ll ans = 1;
    for(int i = 1; i <= cnt; i++) {
        if((a[i]-1) % M == 0) {
            ans = ((ll) (B * b[i] + 1) % Mod * ans % Mod) % Mod;
            continue;
        }
        else {
            ll x = quick_pow(a[i], (ll)B * b[i]+1);
            x = (x - 1 + Mod) % Mod;
            ll y = quick_pow(a[i]-1, Mod-2);
            ans = ((ll) x * y % Mod * ans % Mod) % Mod;
        }
    }
    printf("%lld\n", (ans + Mod) % Mod);
    return 0;
}