学到后面数学越来越多了，感觉好难啊，开个博客专门记录一下数学相关的东西，如果有错请指出$qwq$
一些符号：
数论函数的卷积：$\ast$，$ h = f \ast g$ 则 $h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$
$\epsilon $ 叫单位元，对每个 $f(1) \neq 0$ 的函数 $f$，有 $\epsilon \ast f = f$
$\epsilon(n) = [ n=1 ]$
$\mathbf{id}$ ，不知道叫啥，反正 $\mathbf{id}(n)=n$ ，没了
$\mathbf{1}$ ，奇怪的操作，数字 $1$ 也能当函数，$\mathbf{1}(n)=1$
$\phi $，欧拉函数，有很多结论：
$\mathbf{id}=\phi \ast \mathbf{1}$，即 $n=\sum_{d|n}\phi(d)$
对于某个函数 $f$ 的逆 $g$，有 $f \ast g = \epsilon$
$\mu $，莫比乌斯函数，$\mu $ 其实是 $\mathbf{1}$ 的逆
所以有 $\phi = \mu \ast \mathbf{id}$
关于如何求出 $\mu(n)$ 的值 ：
如果 $n$ 质因数分解以后每个质因数都互不相同，设质因数数量为 $p$，则 $\mu(n)=(-1)^p$，否则 $\mu(n)=0$
$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$
莫比乌斯反演： 设 $F(n)=\sum_{d|n}f(d)$，那么有 $f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac {n} {d})F(d)$
证明：
$f(n)=\sum_{m|n}[\frac {n} {m}=1] f(m)$
$f(n)=\sum_{m|n}\sum_{d|\frac {n} {m}}\mu(d)f(m)$，枚举 $d$
$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{m|\frac {n} {d}}f(m)$
$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac {n} {d})$
$f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac {n} {d})F(d)$
另一个方向的结论：$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$，那么有 $f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac {n} {d})F(d)$
证明和上面差不多
二项式反演（就是容斥）：
首先
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=[n=0]$，证明可以通过递推式，数学归纳法解决
$n=0$ 时式子为 $1$，$n$ 等于 $1$ 时式子为 $0$，考虑 $n+1$ 都是由 $n$ 得到的
对于每一个 $\binom{n}{k}$ 他会贡献给 $\binom{n+1}{k},\binom{n+1}{k+1}$，因为 $(-1)^k,(-1)^{k+1}$ 正负不同刚好抵消，所以 $n+1$ 还是 $0$
设 $F(n)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f(k)$，那么有 $f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}F(k)$
证明：
$f(n)=\sum_{m=0}^{n}[n-m=0]\binom{n}{m}f(m)$
$f(n)=\sum_{m=0}^{n}\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\binom{n-m}{k}\binom{n}{m}f(m)$
发现 $\binom{n-m}{k}\binom{n}{m}$ 意思是 $n$ 选 $m$ 剩下的再选 $k$ ，和 $n$ 选 $k$，剩下选 $m$ 是一样的
$f(n)=\sum_{m=0}^{n}\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n-k}{m}f(m)$，枚举 $k$
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\sum_{m=0}^{n-k}\binom{n-k}{m}f(m)$
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}F(n-k)$，换一下下标：
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}F(k)$
杜教筛前置内容：
$S_{f}$ 表示 $f$ 的前缀和，即 $S_{f}(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$
$S_{f \ast g} = \sum_{d=1}^{n} g(d)S_{f}(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)$
证明：
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac {i} {d})$
$=\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}f(i)$
$= \sum_{d=1}^{n} g(d)S_{f}(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)$
（待续）