倒水问题UVA 10603——隐式图&&Dijkstra

题目

给你三个容量分别为 $a,b,c$ 的杯子，最初只有第3个杯子装满了水，其他两个杯子为空。最少需要到多少水才能让一个某个杯子中的水有 $d$ 升呢？如果无法做到恰好 $d$ 升，就让某个杯子里的水是 ${d}'$ 升，其中 ${d}' < d$ 并且尽量接近 $d$。（$1 \leq a,b,c,d \leq 200$）

分析

设第一个杯子有 $v_0$ 升水、第二个杯子有 $v_1$ 升水、第三个杯子有 $v_2$ 升水，称这为一个状态 $((v_0, v_1, v_2))$，而从一个杯子向另一个杯子倒水则扩展出下一个状态，设倒水量为两个状态间的距离。类似于Dijkstra，因此能保证每次从队列中弹出的都是距离最小的，每次都更新一下答案。

由于总水量是不变的，也就是说 $v_0, v_1$ 确定时，$v_2$ 也随之确定，所以实际状态数为 $200^2$.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;

struct Node {
  int v[3], dist;
  bool operator < (const Node& rhs) const {
    return dist > rhs.dist;
  }
};

const int maxn = 200 + 5;
int mark[maxn][maxn], dist[maxn][maxn], cap[3], ans[maxn];

void update_ans(const Node& u) {
  for(int i = 0; i < 3; i++) {
    int d = u.v[i];
    if(ans[d] < 0 || u.dist < ans[d]) ans[d] = u.dist;
  }
}

void solve(int a, int b, int c, int d) {
  cap[0] = a; cap[1] = b; cap[2] = c;
  memset(ans, -1, sizeof(ans));
  memset(mark, 0, sizeof(mark));
  memset(dist, -1, sizeof(dist));
  priority_queue<Node> q;

  Node start;
  start.dist = 0;
  start.v[0] = 0; start.v[1] = 0; start.v[2] = c;
  q.push(start);

  dist[0][0] = 0;
  while(!q.empty()) {
    Node u = q.top(); q.pop();
    if(mark[u.v[0]][u.v[1]]) continue;
    mark[u.v[0]][u.v[1]] = 1;
    update_ans(u);
    if(ans[d] >= 0) break;
    for(int i = 0; i < 3; i++)
      for(int j = 0; j < 3; j++) if(i != j) {
        if(u.v[i] == 0 || u.v[j] == cap[j]) continue;
        int amount = min(cap[j], u.v[i] + u.v[j]) - u.v[j];
        Node u2=u;
        u2.dist = u.dist + amount;  //换成+1,就是求最少次数
        u2.v[i] -= amount;
        u2.v[j] += amount;
        int& D = dist[u2.v[0]][u2.v[1]];
        if(D < 0 || u2.dist < D){
          D = u2.dist;
          q.push(u2);
        }
      }
  }
  while(d >= 0) {
    if(ans[d] >= 0) {
      printf("%d %d\n", ans[d], d);
      return;
    }
    d--;
  }
}

int main() {
  int T, a, b, c, d;
  scanf("%d", &T);
  while(T--) {
    scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
    solve(a, b, c, d);
  }
  return 0;
}