1、流行学习前言：
流形学习是个很广泛的概念。这里我主要谈的是自从2000年以后形成的流形学习概念和其主要代表方法。自从2000年以后，流形学习被认为属于非线性降维的一个分支。众所周知，引导这一领域迅速发展的是2000年Science杂志上的两篇文章: Isomap and LLE (Locally Linear Embedding)。
2、流形学习的概念
流形的概念：
所谓流形（manifold）就是一般的几何对象的总称。比如人，有中国人、美国人等等；流形就包括各种维数的曲线曲面等。
流行学习的概念：
流形学习方法(Manifold Learning)，简称流形学习，自2000年在著名的科学杂志《Science》被首次提出以来，已成为信息科学领域的研究热点。在理论和应用上，流形学习方法都具有重要的研究意义。
简单地说：流形学习方法可以用来对高维数据降维，如果将维度降到2维或3维，我们就能将原始数据可视化，从而对数据的分布有直观的了解，发现一些可能存在的规律。和一般的降维分析一样，流形学习把一组在高维空间中的数据在低维空间中重新表示。和以往方法不同的是，在流形学习中有一个假设，就是所处理的数据采样于一个潜在的流形上，或是说对于这组数据存在一个潜在的流形。 对于不同的方法，对于流形性质的要求各不相同，这也就产生了在流形假设下的各种不同性质的假设，比如在Laplacian Eigenmaps中要假设这个流形是紧致黎曼流形等。对于描述流形上的点，我们要用坐标，而流形上本身是没有坐标的，所以为了表示流形上的点，必须把流形放入外围空间（ambient space）中，那么流形上的点就可以用外围空间的坐标来表示。
举例的说：比如 中的球面是个2维的曲面，因为球面上只有两个自由度，但是球面上的点一般是用外围 空间中的坐标表示的，所以我们看到的 中球面上的点有3个数来表示的。当然球面还有柱坐标球坐标等表示。对于 中的球面来说，那么流形学习可以粗略的概括为给出 中的表示，在保持球面上点某些几何性质的条件下，找出找到一组对应的内蕴坐标（intrinsic coordinate）表示，显然这个表示应该是两维的，因为球面的维数是两维的。这个过程也叫参数化（parameterization）。直观上来说，就是把这个球面尽量好的展开在通过原点的平面上。在PAMI中，这样的低维表示也叫内蕴特征（intrinsic feature）。一般外围空间的维数也叫观察维数，其表示也叫自然坐标（外围空间是欧式空间）表示,在统计中一般叫observation。
学术的说：假设数据是均匀采样于一个高维欧氏空间中的低维流形，流形学习就是从高维采样数据中恢复低维流形结构，即找到高维空间中的低维流形，并求出相应的嵌入映射，以实现维数约简或者数据可视化。它是从观测到的现象中去寻找事物的本质，找到产生数据的内在规律。
3、流形学习的分类
可以将流形学习方法分为线性的和非线性的两种，线性的流形学习方法如我们熟知的主成份分析（PCA），非线性的流形学习方法如等距映射（Isomap）、拉普拉斯特征映射（Laplacian eigenmaps，LE）、局部线性嵌入(Locally-linear embedding，LLE)。
当然，流形学习方法不止这些，对于它们的原理，也不是一篇文章就能说明白的。对各种流形学习方法的介绍，网上有一篇不错的读物（原作已找不到）： 流形学习 (Manifold Learning)(里面针对每一个经典的流行学习算法都有了一定的叙述)
4、高维数据降维与可视化
对于数据降维，有一张图片总结得很好：
图中基本上包括了大多数流形学习方法，不过这里面没有t-SNE,相比于其他算法，t-SNE算是比较新的一种方法，也是效果比较好的一种方法。t-SNE是深度学习大牛Hinton和lvdmaaten在2008年提出的，lvdmaaten对t-SNE有个主页介绍，tsne,包括论文以及各种编程语言的实现。
5、基本问题和个人观点
a. 谱方法对噪声十分敏感。希望大家自己做做实验体会一下，流形学习中谱方法的脆弱。
b. 采样问题对结果的影响。
c. 收敛性
d. 一个最尴尬的事情莫过于，如果用来做识别，流形学习线性化的方法比原来非线性的方法效果要好得多，如果用原始方法做识别，那个效果叫一个差。也正因为此，使很多人对流形学习产生了怀疑。原因方方面面 : )
e. 把偏微分几何方法引入到流形学习中来是一个很有希望的方向。这样的工作在最近一年已经有出现的迹象。